GA^ CA

CXf'-K

On verra que ces nouvelles âubstituticns sont incongrues entre elles et au5t pri^cédentes. Si les substiluiions (g), (to), (11) formeot toutes les substitutions incongrues deux à deux (mod n)^ on a

et ainsi de suite»

p — ànfiin ),

§ IIL — Formes équivalentes- Classes de formes. 303. Formes équipaientes. — Soit une forme

Faisons la^âuLslitulton

nous obtenons une nouvelle forme

a* jc'* H~ a b'^'y* -H c'y*.

Nous avons vu (n*' 279) que U première forme contient la seconde, parce que, à tout système de valeurs entières de .r ' et v' correspond un système de valeurs entières de £ et j- Mais remarquons maintenant qu^on a inversement

,^- ^^-Pr

Si donc A =di I, il s^ensuivra que^ à tout système de valetirs

FORMES ÉQUIVALENTES. CLASSES DE FORttES. 219

entières de x et y correspondra aussi un système de valeurs entières de x' et y.

Donc la seconde forme conlient aussi la première. On dit alors que les deux formes sont équivalentes. Ainsi deux formes équivalentes sont deux formes telles que Von passe de Vune à l* autre y par une substitution linéaire de déterminant égal à±\. Chacune de ces formes contient Tautre. Tout nombre représentable par Tune des deux formes Test aussi par l'autre. Les deux formes représentent donc les mêmes nombres.

Exemple. — Soit la forme

x^ — !^xy -T- a^*.

Faisons la substitution

y = 5^7' T- iy\

dont le déterminant est égal à i , et nous obtenons la forme transformée

— x'^ — ix'y' -^y"^,

équivalente à la première.

304. Étant donnée une forme, on obtient toutes les formes équivalentes, en lui appliquant toutes les substitutions de déterminant égal à ±: 1 .

Toutes ces formes équivalentes ont même discriminant, à cause de la relation du n**278 que donne ici D = D'. Mais la réciproque n'est pas vraie; deux formes de même discriminant ne sont pas toujours équivalentes.

Exemple. — Les formes

ont même discriminant 12; cependant elles ne sont pas équivalentes.

En effet, la première ne peut représenter qu'un nombre ^ o ou ^i(mod4), taudis que la seconde peut représenter un nombre ^ 3 (mod 4).

220 GHAP. TI. - LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

30o. Classes de formes, — Mais nous pouvons nous borner à la considération des formes qui se déduisent d'une forme donnée par toutes les substitutions de déterminant égal à -|- i ou substitutions modulaires.

En effet, soit A une substitution de déterminant égal à — i.

Considérons la substitution

Le déterminant de cette substitution N est aussi égal à — i. Si donc nous posons