AN-» = A

A' est une substitution modulaire.

Or

Donc toute substitution de déterminant égal à — j est (''gale à une substitution modulaire multipliée par N.

Nous nous attacherons donc spécialement à l'équivalence des formes qui se déduisent l'une de l'autre par une substitution modulaire.

On dit que ces formes appartiennent à la même classe que la première.

Ainsi, on appelle classe de formes toutes les formes qui se déduisent de l'une d'elles par les substitutions du groupe modulaire.

Les formes équivalentes à une forme donnée se composent :

i" Des formes appartenant à la même classe.

2** De celles qui se déduisent des précédentes par la substitution N, c'est-à-dire en changeant le signe du terme en xy.

Actuellement les problèmes qui se posent sont les suivants:

I. Etant données deux formes de même discriminant, voir si elles appartiennent à la même classe ou non,

II. Lorsque deux formes appartiennent à la même classe, trouver la ou les substitutions modulaires qui permettent de passer de la première à la seconde,

III. Etant donné un discriminant^ trouver les différentes classes déformes ayant ce discriminant.

FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. 22 1

Formes réduites, — Pour résoudre ces problèmes, qui reviennent au fond à la comparaison de deux formes, la méthode consiste à remplacer ces formes par des formes de même classe, mais d'une espèce particulière, et qu'on appelle formes réduites. Tout revient ensuite à comparer entre elles les formes réduites.

Mais ces formes réduites sont totalement différentes suivant qu'il s'agit de formes à discriminant positif, ou de formes à discriminant négatif.

Occupons-nous d'abord des formes à discriminant positif.

§ IV. — Résolution des trois problèmes du n° 305 pour les formes à discriminant positif. Équation de Pell pour un discriminant positif.