Nous allons niaintenonL démontrer le tliéorénie suivant
TnÉoiiE-nE* — On peut passer d'une forme à discriminant p os it if q il etcottqne {a^b^c) à une fo rm e rédu ite de même classe^ en lui appliquant un certain nombre de fuis tes subMiîf ut ion s S etT,
Cfis deux substitutions étant modulaires, leur application réitérée donne toujours naissance à des formes de même classa que la forme primitive,
11 faut montrer que Ton peut transformer la forme (a, 6, c) en une formai satisfaisant à toutes les conditions (r3), (t4)t (ïS)*
Montrons d'abord qu%Mi peut transformer la forme (a, b^e) f*ii une forme satisfaisant seulement aux conditions (r3).
Dans l'ordre de grandeur des coenicienis de la forme* six cas sont possibles :
al%\b\>c, %\b\>e^a, a\t\>a>c.
é^mm
FORMES A DISCRniNANT POSITIF. 223
Dans \e premier cas, c^a^2|6|, la forme satisfait aux conditions (i3).
Dans le second cas, a^ci;a|6[, appliquons à la forme la substitution T. La forme devient
Cette nouvelle forme satisfait alors aux conditions (i3).
Dans le troisième cas, c^i\b\'>a^ appliquons à la forme donnée m fois la transformation S, la forme (a, 6, c) devient (a, am -¥■ ô, ani^-^- ibm -+- c).
Or on peut choisir m de façon que
a I am -+- ô l '^ a
(il suffit de diviser b par a, de façon à obtenir le reste minimum, et de prendre pour m le quotient changé de signe); m étant ainsi
choisi, posons
am H- A = ^1»
am'^-^ ibm -^ c =^ C\,
La forme (a^b^c) devient
(a, bu Cl), et Ton a
a^i\bi\.
Si Ton a de plus
Cl^2\bt\,
la forme (a, ii, Ci ) se trouve dans le premier ou le second cas et
le problème est résolu.
Mais, si Ton a
faisons sur la forme (a, &i,C|) la transformation T, cette forme
devient
{Ci, — bi,a)
Puis, faisons m' fois la transformation S, m' étant choisi de façon
que
2| C|/n'— bi I ^C|.
La forme devient alors
(ci,6j,ai),
en posant
Ci m'— bi — 6,,
Cl m'* — 2 6i m' — a = «t
our, VI. LES roRiïs quadratiques BniAIlES.
Sil
on a
de ph
eiïal^il.
la forme (C| , //m^ a, ) se Irouve dans le premier ou le second cas, eî le problème est résolu* Mais si Ton ;i
faisons de nouveau sur la forme (C|, ij, ij* ) la transforma tioii T, cette forme devient
(tï|i —et, Cl):
puis faisons la transformation S, m" fols, m* étant choisi de façon ijue
Nous obitendrons une forme
[ai,ùj, Ci); et ainsi de suite.
Je dis qu'en continuant ce procédé on arrivera forcément â une (orme se trouvant dans le premier ou le second cas.
En ellel, si cela n'a pas lieu pour la forme (a, fr», Ci)j canmie h condition
est remplie, c'est que la condition
C|52|èt[
ne l'est paSt On a donc
De même si la forme (e,, ^a, a^ ) n'est pas dans le premier ou le second cas, c'est que Ton a
De même, si la forme (a^ , 63^ c^ ) n*esl pas dans le premier ou le second caSj c'est que Ton a
et ainsi de suite.
On a donc
^ià^\h\>\ct\;
«f > Ct > it, > Ct ,
FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. 220
Les Dombres ay C{, ^i, ... sont tous positifs. Donc cette suite d'inégalités ne peut se prolonger indéfiniment. Donc on arrive forcément à une forme appartenant au premier ou au second cas.
Dans le quatrième cas, a^2|6l>>c, faisons la transformation T et nous sommes ramenés au troisième cas.
Dans le cinquième et dans le sixième cas, où l'on a
\ib \ > a,
faisons m fois la transformation S, m étant choisi de façon que
^I am -h b I la,
et nous sommes ramenés au premier, second ou quatrième cas. Le problème de trouver une forme de même classe que la forme proposée et satisfaisant aux conditions (i3) est donc résolu dans tous les cas.
310. Reste à montrer qu'on peut satisfaire aussi aux conditions (i4) et (i5). Supposons d'abord que la forme ne satisfasse pas à la condition (i^) tout en satisfaisant aux conditions (i3). Soit la
forme
— aB:r*-h2Bx/-+-C7« (C^|B|).
Appliquons-lui la transformation S, cette forme devient
Cette nouvelle forme satisfait alors à la condition (i {), tout en continuant à satisfaire aux conditions (i3).
Supposons maintenant que la forme ne satisfasse pas à la condition (i5) tout en satisfaisant aux conditions (i3) et(i4). Soit la
forme
Xx^—iBxyn- Xy^ (B>o, A> 2B).
Appliquons-lui la transformation T, elle devient
Cette nouvelle forme satisfait à ta condition (i5), tout en continuant à satisfaire aux conditions (i3) et (i4)*
Exemple, — Soit à réduire la forme
S36 CHAP. VI. — LES rûRlIBS QUA&MATIQITES mifiitES-
Nous sommes dans le siitième cas. Appliquons la substîiuhon S'*, nous obtenons
Nous sommes dans le quatrième cas. Donc nous appliquons la $ul>slilution T qui donne
Nûus sommes maintenant dans le troisième cys. La subslitiUîoa S~^ donne
Cette forme satisfait aun conditions (lii)^ mais non à la condition (i5). Appliquons-lui encore une fois la transformation T. La forme devient
Il)lle est rédnile.
