Application au premier problème du
Élu ni données deiu: /ormes de même diseri minant pùsitif.
voir si ces formes appartiennent à la même classe ou non.
Il suffit de remplacer les deux formes données par les fûrnfle> réduites^ respectivement de même classe qu'elles, et de voir si ce$ deux formes réduites sont de même classe* Or ou a le théorèmt suivant :
Ihéoïïemë. - Deux formes réduites de discriminant positif, ne peuvent être de même classe que si elles sont identiques,
312. Pour démontrer ce théorème démontrons d'abord that ioégalités auxquelles satisfont les coefficients d'une forme réduite. Soit (a, bj c) une forme réduite
De rinégalîté
on tire (iC)
De Tinégalité
on tire, a étant positif (a" 306),
ma
FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. ^27
Comparant les inégalités (16) et (17), on obtient
d'où d'où
mV?'
Ensuite on a d*où, a fortiori
3ac=3D-(-36'liD 3a«r'iD,
et par conséquent
313. Soient maintenant (a, 6, c), (a', i', c') deux formes de
même classe, et ( > ) ^^ substitution par laquelle on passe de la
première à la seconde. Nous voulons démontrer que, ou bien ces deux formes de même classe ne sont pas toutes les deux réduites, ou bien elles sont identiques. On peut évidemment
supposer a'
On a
< iO)
i- «a -Py,
Cil )
a'= aa' -»-7.AfltY-î- cy'i
il-?.)
^'= aap -f- h{<il -f- Py) -^ cy8
L'équation (-îi) donne (23) aa'= (ax-h6Y)'-H Dy',*
or
Donc
aat ID,
OU, d'après l'égalité (.i3)
(aa-f-^Y)*-^I^Y*-f ^^ ou
(aa-i-6Y)2':;;DQ - y* V
128 aUP, VK — L£S FORMES QV A PRATIQUES BINAÏUIS,
Il n^ulte de là que
Donc Y qui ^st un nombre entier ne peut être égal qu'à o, ou
I, SoÏL d'abord y = ^- — ^^^ équations (ao). (38î)> (aa)
deviennent alors
1 = ao,
è' = rta^ H- fiqtÔ.
On en conclut immédialemenl
rt' = rt, b* — ù doit être divisible par a. Mais
Donc |i' — ft|S<^^ (régalité n'étant atteinte que si des deuit nombres 6, // l'un (!'gale ' r^ €t TniUro ^ - aV
Si [i^— 6] < «, ù' — h devant être divisible par a^ c*est qoe
On a déjti
On en déduit
ac — b^= ac — 6'*,
Donc les deux formes sont identiques* Si I i' — A| == fl, les deux nombres b et 6' sont égaux ^ l'un a a^
Tautre à — -a^ DodCé Tune des deu% formes n'est pas réduite
(condition i4)*
iMH
FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. 229
