II. Y = di I. — Les équations (20), (21), (22) deviennent
(24) 1= a$ ipp,
(-25) a'= aa' =ti 26a 4- c,
(26) ^'=aa?-+-6(aSdbp)dzco.
L'équation (fi3) s'écrit
(27) a' — c = aoL^dzibot, Or
Donc
(29) aa*zh26aJo.
D'autre part,
et
Donc
a 2 ' 2 6 1 aa*^J2 6a|.
Donc ( 3o ) a a* di 2 6 a ^ o.
Comparant les inégalités ('^9) et (3o) on en déduit aoL^àz 26a = o,
et, par suite, l'égalité (27) donne
et les inégalités (28) montrent alors que
Ensuite l'égalité (2O) peut s'écrire en tenant compte de l'égalité (24)
b ->r b' = aap -h 26a8 rt: c8,
ou en remplaçant c par a et 26a par ip a 7.'^
b^b'= aapif:aa«5±a8 = a(a[i q:a»od:o)
c'est-à-dire que b -^ b^ est divisible par a.
CIUP, Vh
LIS FOR.V£i^ QIAORATIQUES Br.MIRIS,
On voii^ comme plus haiil, c|ii'il faul pour cela ou bien que
ou bîeo que
Dans le cas nii comme déjà
ei que
ou LM1 dtkluit
Mais la contltLiou (3i) donne de plus
Les deux formes soûl doue (fî, b, a), {fr. — //, a'n tinr> seule peul être réduite d'après la nondilion (rfî). Dans le cas; où
on trouve encore
fi =i a =^ c — c.
Le^ deuK formes sont donc identiques.
31 1, Le premier problcme du u'- 30S est maintenant résolu potïr les formes h (Jiscrîmiuyut positif. On voit que pour f/tjf detW formes de même discriminarii positif appartiennent à la même classe^ it faut et il suffit que leurs formes réduites soient idettùtjues^
Exemple- Les deux formes du u" 304. — Nous avons vu pai" un procède détourné qu'elles ne sont pas équivalentes. Nous fuyons maintenant que cela résulte aussi de ce qu'elles sonl réduites, et ne son t pas identiques.
31 S. Autre exemple. — Soient les àtnx formes de mèmt Ji*crîminaûL égal à 6 :
FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. 23 1
Appliquant le procédé connu, on trouve que la première forme se réduit par l'application successive des substitutions
S, T, S-«, T, S3, T, S-« et devient
Pour la seconde forme, elle se réduit par Tapplication successive des substitutions
S-», T, S-3, T, S-> et devient aussi
Donc les deux formes proposées appartiennent à la même classe.
316. Résolution du second problème du /i" 305 pour les formes à discriminant positif.
Deux formes à discriminant positif, ayant été reconnues appartenir à la même classe^ trouver les substitutions modulaires qui permettent de passer de la première à la seconde,
La méthode qu'on vient d'employer pour reconnaître que deux formes appartiennent à la même classe permet en même temps de trouver une substitution modulaire qui transforme Tune dans l'autre.
En effet, soient (a, 6, c), (a', 6', c') ces deux formes et (A,B, C) la forme réduite qui est de même classe que chacune d'elles.
On passe de (ûr, &, c) à (A, B, C) par une suite de substitutions ' S et T, qu'on peut remplacer par une seule substitution G égale à leur produit. De même l'on passe de (a, 6, c) à (A, B, G) par une substitution H. Dans ces conditions, il est bien évident que Ton passe de la forme (a, 6, c) à la forme (a', 6', c') par la substitution GH""', égale au produit de la substitution G par l'inverse de la substitution H. On obtient ainsi une substitution K répondant à la question et qui est évidemment modulaire. 11 faut maintenant avoir toutes les substitutions modulaires répondant à la question.
Soit L une substitution modulaire transformant (a, 6, c) en elle-même. Il est bien évident que la substitution M r-r LR transforme (a, 6, c) en {a\ b\ d).
Réciproquement, soit M une substitution qui transforme
^3i CUkV. VJ. — LIS PORHES QUADIATIQL'ES BINAIRES.
{a^ù,€) en {a\b\c^). Puisque la siibstîtuiioD K iransforme (a, 6, c) CD \a\l/j€f), la siibsiitudon inverse K * imnsformf (a\i\r') en (a,b,c). Donc la subslitution MK'» traii§fornïr (rt, byc) en elle-même* Soit L celle substitution. On a
cFoû* en mullîpHnni les deux membres à droite par K,
