M ^ LK
et, de plusj L est modulaire.
En rcsumi?, on voit que pour tromper tôutPS tes sabstitnUons modtflairês qui Iransforntent (a, /;, ri en \a\ ù\ c'), il faut miiliipiler In sfibstiuition K, à gauche, par toutes les substiiti lions modulaires f/ui It tissent invariable la sabstituitôfi (a^ l/^ r ). De sorte que le problème proposé est ramené au suivunl :
Trouver toutes les substitutions modulaires qui laissent invariable une forme (a, b^ e).
317. Soil ( ^] une telle substitution, a, ^, v* 5 sont Jeter* minés par les conditions
(H'ii (33)
3(3 -fit -t.
rt st^ — à ( 30 H- Py ) - c yS — 6 .
(La dernière équation a^'^-- ^j^b^^Z -{- cù^ -- c est rendue iuulil*par la condition ao — ^y — i , car cette condition suffit pour établir que la forme (a, ft, C) et sa iraïisformée ont même discriminant. Si, de pluSy le coefficient de x^ et celui de xy sôni\& mèmea dans les deu^t formes, il en sera de même dti coefficieûi dej^)
Si dans Téqualion (-1} ) on remplace ao par i -r- py, elle s'écrit
a%^ H-aèPf -Hc^S = 0.
Multiplions Pêquation (/Î5) para, Téquation (33) par — ^ et ajoutons, il vient
FORMES À DISCRIMINANT POSITIF. 233
OU, en tenant compte de l'équation (3^),
(36) cf-+-ap = o.
Ensuite, multiplions l'équation (33) par o, l'équation (35) par — y et ajoutons, il vient de même, en tenant compte de l'équation (32),
(37) a(a — ^) -^ib*{ = o.
Les équations (36) et (37) peuvent s'écrire
Soit a le diviseur de la forme, c'est-à-dire le plus grand commun diviseur de a, 26, c, les équations précédentes peuvent encore s'écrire
1 = Ï = .?LZ1^
d'où,
en
posant
ces
rapports égaux
Pour que P» y, a — S soient entiers, il faut que u soit entier.
En effet, les nombres -1 -, — n'ayant pas de facteur commun, le dénominateur de w, supposé réduit à sa plus simple expression, ne peut diviser à la fois > > — — que s'il est égal à i.
Remplaçons ^ et y par leurs valeurs dans l'équation (32), il
vient
N ac .
aô H — - a* = I a*
ou
(a-+-8)t— (a — 8)» ac .
CtUP. VI. — LIS FOnilËS QUADRATIQUES EINAlRfiS*
OU, diaprés l'équation (io)^
ou
Il suit de là que ^~;~ est un nombre entier* Poâoiis
/«-HDlit
on il
et les nombres «, p, y, 8 sont donnés par les équations (38), (391, (4û), (4i)
Béciproquement, si i*on détermine deAix nombres eniiers sa lis/a isan t à V équation ( \ a ), puis qu'on prenne pour a, ^, ^i o fej vaieurs données par les formules {43 ), ( î4)i {'\^\ {4^^' *
1" ces valeurs sont entières; it" /a substitution i^ HA invariable lafonne (a, è, c).
au
f ^ frw
En effet :
i** Q divisant a eL c, ^ et y donnés par les formules (44) et (<5) sont des nombres eniiers. De plus, ^^ divisant ac et 4 b- divise 4^^ Inéquation (4'i) montre, par suilc^ que ff^ divise 4^*- \)nu(^ ^ divise a/. Il divise cl^aiUeurs ^b. Ceci montre que aixet 2 5 dounét par les formules (43) et (46) sont des nombres entiers. D^Mitle^if* leur somme — étant un nombre pair, ces deux nombres sont de même parité.
FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. 235
Enfin leur produit
4(/« — 6«M«) 4(<T»— acu^) __ / a £ A
(jl "" (jl ""V (T <S /
étant pair, ces deux nombres sont pairs.
Les nombres 2a et 20 étant pairs, les nombres a et 8 sont entiers.
•î" Pour vériGer que la substitution ( ^ | laisse la forme
(rt, b, c) invariable, il suffit d'effectuer cette substitution, en remplaçant a, p, y, 5 par leurs valeurs, et de tenir compte de Téquation (4^^)'
318. Équation de Pell. — Tout revient à trouver les valeurs entières de / et de a satisfaisant à l'équation (4'^) î cette équation se nomme équation de Pell. Or, dans le cas qui nous occupe, D>o, la résolution de l'équation de Pell est très simple. Il suffit de donner à u les valeurs o, =bi, ±2, ... croissantes en valeur absolue, jusqu'à ce que la valeur correspondante de /*
devienne négative et, par suite, inadmissible. A chaque valeur de w, correspondra o ou 2 valeurs de /, suivant que c^ — Basera ou non carré parfait.
Examinons les choses d'un peu plus près :
i*' D'abord on peut toujours prendre pour u la valeur o, il faut prendre alors pour t Tune des valeurs ±:a. Ces valeurs de u et /, transportées dans les formules (43), (44)^ (45), (4^), donnent, pour a, P, Y, S, les valeurs (iti, 0,0, ibi), c'est-à-dire qu'on ob-
lient ainsi la substitution identique et la substitution ( ^ j
évidentes a priori, La seconde substitution est celle que nous avons désignée par I (n** 295).
a" Essayons maintenant pour u les valeurs zii 1, il en résulte
Faisons les remarques suivantes :
236 CHAP. Vf, — LBS POIIME9 QtlâPHAT|QLE$ BINAÎRE!t*
La quantité
est [josîtive et divisible par a'^.
Le quotient de 4D par ^^
est évîdemmeoL congru à o ou à — i{niod4). Donc ce quotient est égal au mojDS à 3. On a donc
(Jn conclut de là que la valeur (47) de i^ ne peut être positive ou nulle que si
OU
Dans le cas ou 4D ^ ^o-^j a- est pair, et Ton obtient pour I Tuiie des deuît valeurs li: -
On a alors quatre systèmes de solutions
H = tf II = — t ,
qui donnent quatre substitutions
tu ^
— Cl !A
■ff — ^
Appelons A la première de ces substitutions, on voit facilement que les trois autres àont A ", Al^ A^' L Avec la subslitmioo iden-
mM
FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. 287
tique et la substitution i, cela fait en tout six substitutions modulaires qui transforment la forme en elle-même.
Dans le cas où 4D = 40"*? on obtient pour t la valeur / = o et Ton a deux systèmes de solutions :
qui donnent deux substitutions :
L'une élant A, l'autre est AI. Avec la substitution identique et la substitution I, cela fait en tout quatre substitutions qui transforment la forme en elle-même.
3" Enfin on ne peut donner à w de valeurs supérieures à i ; car on aurait alors
Donc
/»=(j«— Dwî^d»— 4D.
Or T^ — 4D est négatif, à cause de l'inégalité (4^)- La valeur de ^2, étant négative, ne peut convenir.
£n résumé, on a trouvé dans tous les cas les substitutions modulaires qui laissent une forme invariable.
En général il xiy en a que deux.
Lorsque 4D =: 3(t^, il y en a six.
Lorsque 4D = 4*''*) *' J en a quatre.
319. Remarque. — Dans tous les cas, il est évident, a priori, que les substitutions modulaires qui laissent une forme invariable forment un groupe. C'est ce que l'on vérifie facilement.
320. Exemple /. — Reprenons les deux formes équivalentes du n° 315 :
On passe de la première à la forme réduite par la substitution
