STS-*TS«TS
^m CHAP< VL ^ tes POHMES QUlDnATK^tlSS BmAIBES.
Oo passe de la seconde à la forme réduite par la substitution
On passe donc de la preinièie à là seconde par la sub^tîliitîan
(STS-«TS*TS-J)x(S-»TS-4TS"ï)-i STS-ïTS«TS'.
En faisant le calcul, on trouve que celle substitution est Ta su i-
va II If
/ig H
Vr3 5;
Cherchons maintenant toutes les subâtitulions modalaires qui transforment la forme
en eîle-méme. On a ici
Dr^e, «r-i.
L'ét] nation en t gI u est donc rjui n'a que les deux solutions :
c*est-à-dîre qu^îl n'y a que la substiLulioa Identique on la subslîtulinn T qui répondent è la question. Il ny a donc que les deu%
su b s ti tu tiens :
qui transforment la forme
%o€^jt* — 888 ay' -h 638 j»
3 5^* -h i84a^^ H- alij^-
en la forme
32L Exemple II* — Quelles sont tes stibsiîttHion^ qui transfôrmeni la forme -^x^-h^ô^y-h^ij^ en elle-même?
FORMES A DISGRiaiNAlfT POSITIF. 289
On a ici
D = 3, L'équation en t et u est
Elle a comme solutions :
Le premier système de solutions donne la substitution identique.
Le second donne la substitution L
Le troisième donne la substitution A=^l )•
Les trois autres donnent A~*, AI et A~* L
322. Résolution du troisième problème du n^ 305 pour les formes à discriminant positif.
Étant donné un discriminant positif , trouver les différentes classes de formes ayant ce discriminant.
Soit D le discriminant donné. Il suffit de trouver les formes réduites ayant ce discriminant. Or, dans une forme réduite, on a
'Vf-
On prendra donc pour b toutes les valeurs entières, positives, négatives ou nulles, satisfaisant à cette condition. Ces valeurs sont en nombre limité.
Une valeur de b étant choisie, on a
ac = 6»-hD.
On décomposera donc, de toutes les façons possibles, 6^ -h D en un produit de deux facteurs positifs (*), et, parmi toutes les valeurs possibles pour a et c, on choisira celles qui donnent une forme réduite (a, 6, c).
( ' ) On suppose toujours a et c positifs.
2iO CHAI"» ri. — LES FORMES Ql A DU A TIQUES Bl?i AIRES.
Il importe de remarquer que Ton obtient ainsi un nombre^/?/
de formes,
323* Exemple / .'
Dans ce cas
IH
Donc
\lc
De
11 n'y a donc qu^une forme rédiiîle de discriminant t, à savoir
Exemple //
ans ce cas
Donc
Ak
D'ailleurs a doit être plus petit que c. Donc
n n'y a donc qu'une forme réduite de discriminant 2, a savoir
Exemple III .
jr*-+- 2^*
Da
ns ce cas
•Vr
Donc
FORMES À DISCRimifANT POSITIF. 2^1
Si b = 0y
ac = 3.
Donc
rt = I, c = 3.
Si6 = dzi,
ac = 4.
D'ailleurs a doit être au moins égal à | 26|, c'est-à-dire à 2. Donc
n eic étant égaux, b doit être positif. Donc 6 = i . En résumé, il y a deux formes réduites de discriminant 3. à savoir
x^+^y* ei 2x»-(- ajr^-i-a^».
Exemple IV:
Dans ce cas
Donc
^ = ou 6 =±1.
Si 6 = 0,
ac = 7.
Donc
Si 6=±i,
D'ailleurs a doit être au moins égal à 2 ; donc
a — If c = 4»
La condition 26 ^ — a montre que b ne peut être égal à — i ;
donc 6=1. En résumé, il y a deux formes de discriminant 7, à
savoir
x^-hjy^ et ^x^-^ 2Xjr -h iy^.
Exemple V :
D r=II.
Dans ce cas
donc
b — o ou ^ = ib I.
