C. iC
!lj^ CIIAP. >K — LES FOnaiES QLADRATIQLIES BIKAtR£Si
Si li^ O,
ae = I r î donc
D'ailleurs a doit être au moins égal à -a ; donc
a — *i| (* = Cîi
ti — 'à, c — \,
Maïs Si a = a, // ne peut ôlre ëgai à — i. En résumé il y a tjtialre formes réduites de discrîmioant \ i*
Exemple VI :
Dsnâ
ce cas
donc
Si 6 =
donc
SiA =
^ = ri.
6^:ha*
«r^fg.
D*a il leurs a doil être au moius é^al à s.
Ou peut donc prendre
^Sli^di
Mais a devant être égal au moins à 4i le plus peiît diviseur de al supérieur à 4 ^st 7; mais si Ton prenait « = 7 il faudmil prendre c ^= 3^ ce qui ne doit pas tHre; donc on n'oblicnl pas ainsi de nouvelle forme réduite.
FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. ^43
En résumé, il y a cinq formes réduites de déterminant 17.
f^ V. — Résolution des problèmes du n° 305 pour les formes à discriminant négatif. Équation de Pell pour un discriminant négatif.
324. Soit (rt, 6, c) une forme à discriminant négatif. Nous supposons donc D = rtc — h^< o.
Il en résulte que l'équation
a (!>•-+- 2610 -f- r = o îi deux racines réelles
ou
en posant
-D = A, A est alors positif.
Ces racines sont d'ailleurs incommensurables, puisque nous supposons toujours que — D n'est pas carré parfait.
Ce sont des nombres algébriques du second degré. Nous les appellerons racines de la forme.
Nous distinguerons la racine qui correspond au signe -{- du radical, que nous appellerons première racine et désignerons par (i>i , de l'autre que nous appellerons seconde racine et désignerons par Wj.
Wj = ) a>j= •
Si rt > o la première racine est la plus grande. Si a < o c'est le contraire.
325. Remarquons que la connaissance d'une forme entraîne celle de son discriminant et de sa première racine.
Réciproquement, si l'on connaît le discriminant et Ut première racine d'une forme, cette forme est déterminée.
En effet, si l'on connaît la première racine, on connaît la .seconde,
â44 mxP. VI. — LIS FORHES QUABft iXlQUES BINATRlS.
qui esl le nombre conjugué. On a donc
:^ Wj.
On en lire
^^ ( (il I H- Wi ) v^i — J
wt -- utt
Donc k forme csl déterminée,
326. liemarque* — Les deux'forme.^ {«,6,c}, (— a, ^6, — c) ont mêmes racin«!S, mais la premièreVracine de Tane est k seconde racine de rauLre.
Réciproquement* — Si denx formes de même discriminant nnl les mêmes racines, mais de façon que la première racine de Tune soit la seconde racine de l'autre» ces deux formes ont lecirs coefficients égaux et de signes contraires.
En eflel, soient (a, 6, c), {a\ &', c') ces deux formes. Ou a, par hypothèse.
^t^ ne — h'^ — ac* = à^
L*ëgdlité (5o) donne
( «1 -h a' ) \/l = ha* — ah\ ^à élanl incommensurable, ceci ne peut avoit licïi que si
il "on
FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. ^4^
et alors de l'égalité (49) on tire
327. Substitutions linéaires sur une seule variable. — Effectuer sur une variable w une substitution linéaire ( ^ )> c'est
I aa> H- B •
remplacer o) par — r— rC •
Quand on effectue sur deux variabl^sa:, y. la substitution f ^ ]>
la substitution ( ^ ) ^^ trouve aussi effectuée sur leur rapport - •
Mais toutes les substitutions qu'on peut déduire de celle-là, en multipliant ou divisant les quatre coefficients par \in même nombre, sont distinctes comme substitutions sur deux variables, et ne le sont pas comme substitutions sur une seule.
En particulier, si Ton ne s'occupe que des substitutions à coefficients entiers, de déterminant égal à liz i ; ou, plus particulièrement encore, si l'on ne s'occupe que des substitutions modulaires, les
deux substitutions ( ^ )> r ^ 1 distinctes comme substi-
tulions sur deux variables, ne le sont pas comme substitutions sur une seule.
On peut donc distinguer le groupe des substitutions modulaires sur deux variables et le groupe des substitutions modulaires sur une variable,
328. Relation entre les racines de deux formes équivalentes. — Soit une forme (a, b, c) dont les racines sont <o, et lu^. Supposons que par la substitution ( J(a5 — py^zt i) cette forme
se transforme en une équivalente (a\ 6', c'). Il est bien évident que, si l'on appelle o>', , tOj les racines de la seconde forme, celles de la première sont égales à
aa>', H- p Qfio', -f- p
