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de sorte que : les substitutions qui transforment une forme en
^^û CHAP* Vt. — LE^ PORTES QttDaiTIQlîIS 8!>'AI1ÈS.
une autre, trans/ormenl les racines de la seconde en celles tir la première.
Mais, je dis Ût plus que, si aS — fi-;' = i , autrement tlil^ si tes deux formes sont de même classe ^ les racines de même nom se correspondent. C'est le contraire si ût5 — ?Y ^ — ''
En eOcl, soit
itfi— — j—r^*
on en Uic
Siipposooà que d^i soit la première racine^ tcmpkçons-la par sa valeur
tt>,=
Il vient
En fiii^aiïL dis[>araîlrc le radical du déuouiiualeur, ou trouve après istuiplificaLions
c'esL-à-dire
. i/ -hi stS — Ûv ) xfb'*—a'G*
Donc : *ïî ao — py = i
iu\ c*.l Ja première racine^
si %Z — Py ^ — I
tù\ iîst la seconde lacino.
liéciproqtiemenfj si entre les racines de même nom, w^ m\ dt: i\eu\ fonues, il existe une relation de la forme
(ïe-?ï-^i>.
ou si entre des racines de nom contraire, il existe une relaiiou de même'forme mais pour laquelle oLù—^y^ — i, si de plus le.^
FORMES A DlSCRUIl.NÀNT NÉGATIF. 24?
deux formes ont même déterminant, on passe de la première
forme à la seconde par la substitution ( ^ )•
En effet, supposons, pour fixer les idées, que la relation existe entre les racines de même nom, et que aS — Py = '• En faisant
sur la forme (a, 6, c) la substitution ( ^ J, on obtient une forme
ayant même discriminant et même première racine que la forme (a', t', c') \ elle lui est donc identique (n** 325).
329. Revenons maintenant aux trois problèmes du n® 305. Le premier de ces problèmes s'énonce ainsi :
Étant données deux formes^ de même discriminant {négatif )', voir si elles appartiennent à la même classe ou non?
Soient (a, 6, c){a\ b'^c') ces deux formes. Pour qu'elles appartiennent à la même classe, il faut et il suffit que leurs premières racines tu, et iù\ soient liées par une relation de la forme
Or, nous avons vu (n'* 269) que pour cela, il faut que les périodes obtenues par la réduction de lUi et w', en fractions continues, soient composées des mêmes éléments, dans le même ordre, de façon que l'une des périodes se déduise de l'autre par une permutation circulaire des éléments.
Cette condition est-elle suffisante?
Soit A, B, . . . , L la période de o), ,
w, = Fm, /i, . . . , r, A, B, . . . , L, À, B, . . .1.
La racine to', ayant une période composée des mêmes éléments dans le même ordre, écrivons
w'j = rm', /i', ...,/?', A, B,...,L, A, B, ...1,
la période de iù\ pouvant d'ailleurs commencer en réalité avant A.
aiS cuir* VI. — LES FORve^ quadhatiqces tiNAiaEs.
Soient
h le nombre des éléments A, B^ * . . , L de la période; k le nombre des éléments m, /i, • . . , /■; k celui des éléments /?i', n\ . . . , //\
Soit d'ailleurs
rA, B, ...,L,A.B,
On a les égalités
wi-
qj g étant respectivement la dernière et ravanl-dernière réduiu*
P^ R' de la fraction cootinue [/?ï,«, ,..,/*]; —;» -pétant celles de lit
fraction continue [/n\ n\ . * , , ^/], d'où en éliminant x^ on oblieni nne relation delà forme
avec
et
ï = P'S-QR', p = PR'— PR.
a^PS'^Q R
«s — pY = ( PS - QR) { P S^- Q'R') = (- if^^\
Si donc A ei k^ sont de même parité^ k -^ k' est pmt et m — ^Y ^ ' • donc les deux formes sont de la même classe.
Si A' et k* ne sont pas de même parité mais que h est impair, rien n'era pèche de supposer que la période de *i>i commence A termes plus loin. On peut donc, dans le raisonnement préçédenlt remplacer k par A" + h ; maià /r + /« -j- A' csl pair; doue dfin% n^ cas encore les deux formes sont de la même classe^
Reste le cas où k et k^ ne sont pas de même parité et ou k e^ pair. Je dis que dans* ce cas tes deux formes ne sont pas de h même classe.
FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. Q^Q
En effet, on a
