PS -QR

PS'-Q'R' = ( -i)^.

Supposons que les deux formes soient de la même classe, c^està-dire que l'on ait

Par réliraination de (0| etcu', entre ces trois équations, on obtiendrait une équation de la forme

__ Xx -+■ Il ~~ yx -\- p

avec

X = P(aS'— yR')-^Q(PS'-oR'), |ji = R(aS'— yR')-^S(PS'— 8R'), V - P(yP'~ aQ')-hQ(SP'- ?Q'), P = R(yP'— aQ')H-S(8P'-pQ'),

d'où

Xp — piv =r (PS — QR)( P'S'— Q' R')(ao — ^^) = (— i/-^*'.

Donc, dans le cas qui nous occupe, k et k' étant de parités différentes, on aurait

Xp — (Jiv — — I.

Or cette égalité est incompatible avec l'hypothèse h pair d'après le théorème du n^ 270.

Dans ce cas, les deux formes sont équivalentes, mais non de même classe.

En résumé, pour que deux formes de même discriminant négatif soient de la même classe, il faut et il suffit: i® que leurs premières racines développées en fractions continues donnent naissance à des périodes composées des mêmes éléments dans le même ordre, de façon que l^une des périodes sr déduise de Vautre par permutation circulaire des éléments; 2® que le nombre des éléments de la période soit impair, ou bien, si ce nombre est pair, que les nombres d^ éléments qui, dans chaque fraction, précèdent un même élément de la période, soient de même parité.

a5û CItAP. VI. — LES POItHES QlADHATIQi;»» BlNAtilB.

eux fûrmes

330, Exemple L — Soient les

et

ded

1SC1 un in an l

On à

pt

— t ^î j x' — î ï û Ty — 76/*

Les deii\ poriodes sont identiques. De plus h^ 1 esl impair. Donc les deux formes >onlde iiiejne classe.

E. temple //. — Soient les deux formes

hx^ — xomy -^ %y^ i\e discriminant — 1 5.

On a

lu, :

el

K = ^-^^-[<.lM,3^, ■^-]'

Les deux périodes se dédnîsent Tone de Tautrc par permuifttion circulaire; h -^ 2 est pair. Mais en faisant commencer la période de ts>\ au quolienl incomplet a, de fueon que les périodes soient idenliques, on a A =^'^=3. Donc A et Â' sont de même pari ir» Donc les deux formes sont de même classe.

Exemple IIL — Soient enfin les deux formej^

^ jp* H- fî xy — 6^^^ , de discriminant — 3.

On a

mi - /i = p, 1,1, 1,3, ..,J

el

FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. 25 1

Les deux périodes sont identiques; li=^i est pair, A' = i, A*'= 2 sont de parités différentes. Donc les deux formes sont équivalentes, mais non de même classe.

331 . A utre façon d^ exposer les résultats précédents. Formes réduites. — On peut exposer la solution précédente, de manière à rappeler celle qu'on a donnée pour les formes à discriminant positif. En effet, nous montrerons encore que toute forme est de même classe qu'une forme particulière, dite /br/wer^rf^/^e, et nous serons ramenés à voir si deux formes réduites sont équivalentes.

Nous appellerons forme réduite, dans le cas des formes à discriminant négatif, une forme dans laquelle la première racine est supérieure à i^ et la seconde comprise entre — i et o.

Pour qu'une forme (a, b, c) soit réduite, il faut d'abord que la première racine soit supérieure à la seconde, ce qui exige

Ensuite, il faut que le nombre i soit intérieur et le nombre — i

extérieur à l'intervalle des racines, ce qui donne les deux autres

conditions

Enfin, il faut que les deux racines soient de signes contraires.

Donc il faut

Ces quatre conditions sont d'ailleurs suffisantes. La propriété fondamentale et caractéristique de ces formes réduites est la suivante :

Lorsqu'une forme est réduite, sa première racine se développe en fraction continue périodique simple et réciproquement.

Ce théorème résulte immédiatement de ce qu'on adltaun^268.

332. Toute forme est de même classe qu'une forme réduite au moins. — En effet, soit une forme (a, 6, c). Développons sa

d^a CHkf, VI. — Lm rOUMEfr QlAbRATIQUËS EINAtllKS>

première racine en fraction continue. Soit

tut= [ m,fî, . . ,T Tf A, B, . . ., L^ A, B, . . .|.

= [ Wï,/î.

Soil h le nombre des termes de la période A, B, le nombre des termes irréguliers m^ m^ . . • , r. Posons, si A est pair,