L: soit X
Posons, si / est impair,
.r- rB. .... L,A,B, -.].
DaDS les deux cas on -à une relation de la forme
tu, ^
Q^-hS
(PS - i^W =^i).
D'ailleurs j il est évident i[u' yin nombre algébrique du seeond degré, est toujours la première racine d'une rerLaiue forme»
Done, X est la première racine dVine certaine tonne* Celte fornic est réduite, et elle est de même classe que la forme (a, é, c), puis*
(P R \ h Le
théorème est donc démontré.
Remarquons d'ailleurs que Ton pouvait faire commencer In période de x, deuit éléments ou quatre, etc^j plus loin. Doiir»
excepté pour h ^^ i ou // ^= a, il y a plusieurs I orme s réduites équivalentes à la proposée.
S33.* Maintenant, le premier problème du n** 30S est ramené mu suivant : ReconnaUre si deux formes réduites sont de ht mém** classe. G*e&t ici que Paspcct de la solution est différent de ce qu^it était pour les formes à discriaiinant positif. Pour les formes u dis* criniinant positif, nous avons, en elTet, vu (a" 311) que deu\ formes réduites ne peuvent être de même classe sans être tdcittiquer, il n'eu est pas de même pour les formes à discriminant négatif.
En eOel, si Ton ap[)liquc au^ formes réduites la conditioti
FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. 253
trouvée au n° 329, on voit que : pour que deux Jormes réduites soient de même classe, il faut et il suffit : i°que leurs premières racines, développées en fractions continues, donnent naissance à des périodes composées des mêmes éléments dans le même ordre, de façon que Vune des périodes se déduise de Vautre par permutation circulaire des éléments; 2** que le nombre des éléments de la période soit impair, ou bien si ce nombre est pair, que le nombre d^ éléments qui, dans la seconde fraction, précède Vêlement qui est à la première place dans la première fraction, soit pair,
334. Étant donnée une forme réduite, il est facile de former toutes les formes réduites qui sont de même classe qu'elle. Soit, en effet,
:rA,B, ...,L,A,B,...1
le développement en fraction continue de la première racine de la forme. Cette forme est équivalente à celles qui ont pour premières racines les nombres
rc, D, ...,L,A, B,G,D, ...| rE,...,A,B,C,D,E,...1,
c'est-à-dire les nombres qu'on obtient en faisant commencer la
fraction continue (5i) successivement au 3*^, au S'^, etc., élément.
Soit h le nombre d'éléments de la période de x. Si h est pair,
il y a - formes réduites équivalentes à la proposée; si h est impair,'
il y en a li.
335. Résolution du second problème du n° 305. — Nous allons maintenant résoudre, pour les formes à discriminant négatif, le second problème du n** 305.
Deitx formes à discriminant négatif ayant été reconnues appartenir à la même classe, trouver les substitutions modulaires qui permettent de passer de la première à la seconde.
'i54 nH-iP. VI, — LES FORMES QrAimATiQiTES irwAniif.
Lii mélliode qu'on vient d'emplo) cr pour reconnaître que deux formes {€i^b^ c)^ {a\ ù\ c') apparljcnnenl à ]a même classe, donne en même temps une subsiitulion modulaire qui transforme Tune dans Tâutre. En e0*et, on £i trouvé^ an n"^ 329, itne stibstitulion
qui transforme or en o^, et une siibstilulion
qui transforme x en ta, ,
Dansées conditions^ il est évident que la substitution G transforme la forme (a^ ù, c) en la forme (rf, ^î/)î [^n appetant (r/, e^/j la forme qui admet ^ pour première racine]; et que H"' traus-* forme {djC,/} eu [a^b^c')* Donc h subslilulion Gli"* transforme (o, 6, c) en (a', 6', c'). Elle répond donc à la question.
11 faut m:tin tenant trouver la u tes les substitutions modulai re> qui tr^jnsiforment («, fr, c) en (a, ù\ c'),
11 suflit pour cela de trouver toutes les substitutions modulaires qui transforment w'^ en Wj et de prendre toutes ces subslitulîons-lÀ et toutes celles qu'on en déduit en changeant les quaire coefficients de signe (n" 327).
Soil L une substitution modulaire et qui transforme x en Itiîmi'^me. Il est évident que la substitution
GLti-i
transforme (aj h^ c) en (a\ f/j c') et par suite u}\ en ti),*
Uéciproquementj soit K une substiiulioa modulaire transfarlïianl ùi'i en ia^; il est évident que la substitution
transforme la forme ( J, e, /) en elle-même, et par suite a* en luimême.
Posons cette substitution égale à L* On a
d^oi^i
K = Gt.lt-^
En résuma, on voit que pour trouver foules les snbstii niions modulaires irans/ormani tù\ en tui, il faut irouver lûiiies tes
FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. 255
substitutions modulaires transformant x en lui-même; puis multiplier ces substitutions, à gauche par G, à droite par H *.
336. Nous allons donc chercher les substitulions modulaires qui transforment x en lui-même.
Considérons la fraction continue formée par les éléments d'aune période de x, si le nombre h de ces éléments est pair, ou par les éléments de deux périodes de x, dans le cas contraire.
Soit [A, B, . . ., L] celte fraction continue.
Appelons ^ la dernière réduite et g- l'avant-dernière réduite de cette fonction. On a
~ Qi^'-f- Si et
PiSi-Q,K, = 4-i,
puisque le nombre d'éléments de la fraction continue est pair. Donc la substitution
répond à la question.
