P, RA

Considérons maintenant les fractions continues qu'on obtient en prenant les éléments de 2, 3, 4> 5, . . . périodes lorsque h est pair; 4^6, 8, 10, .. . périodes lorsque h est impair.

On obtient de la même façon de nouvelles substitutions.

/Pî Rî\ /P» ï^»\

répondant à la question.

Enfin, les substitutions inverses des précédentes répondent également à la question,

337, Je dis que ce sont là toutes les substitutions répondant à la question.

En eflet, soit

(52) ^"^ \^ («$-Py = i)

une telle substitution.

Nous allons d'abord trouver des inégalités auxquelles satisfont

JiSÔ CHAP. Vh — LES FOKIES QCATIBATIQURS BINAIRES.

les coefficients atj p, Y» S. On a par hypolhèâe

On en tire

Or cette équation ajant pour racine le nombre x qui se dévc^ loppe en fraction continue périodique simple, a nécessairemeui ses deux racines de signes contraires j la positive étant pluià, faraude que i, et la négative plus grande que — i (n*268)*

Comme on peut évidemment supposer

car sinon on changerail le signe des quatre coefficients a, ^, y, î, les conditions précédentes s'expriment par les inégalités

Les nombres p et y étant positifsj il en est de même de py* Uégaljté

(16) 5t5 — Pt=>

montre alors que le produit m est aussi positif, c'est-à-dire que xet o sont de même signe. Mais remarquons maintenani que, si dans irne substitution de la forme (5:^.), les deux coefJîcienis x el 3 ont un certain signe, lorsque les deux autres sont positifs; dans la substitution inverse

les coefficients qui occupent les places a cl 5^ dans la substitution précédente ont le signe contraire lorsque les deux autres coefficients soni encore positifs^ Donc on peut se borner u cbercher les substitutions de la forme (52) pour lesquels on a

et Ton aura ensuite i adjoindre auv substitutions trouvées leurs inverses.

FORMES A DISCR1ML%ANT NÉGATIF. 25y

Je dis que Ton a

Eq effet, si Ton avait

l'inégalité (55) donnerait

Des inégalités (57) et (58) on déduirait

ce qui est incompatible avec l'égalité (56).

On a donc