Ceci posé, réduisons - en fraction continue. Soit
ï - étant irréductible, à cause de Tégalité (56), est identique à la dernière réduite de cette fraction continue.
D'autre part, soit ^ l'avant-dernière réduite de cette fractioi> continue.
On a
et
ao'— P'y = -^-: I,
suivant que le nombre des quantités a^O. . . . , / est pair ou impair. Mais on peut toujours supposer que ce nombre est pair et que ao' — P^" f- ' • H suffit, en effet, dans le cas contraire, <le
remplacer / par (/ — i)H
Soit donc
(59) ao'-îi'Y^i.
le nombre des quantités r/, 6, . . . , / étant pair. Des égalités (56) et (Sg) on déduit
CttAP. Yt. — LES POIMES QUAUHITIQUES i1>41RË$,
Qt divise donc y( ^ — [!'). Mais il t;sl premier avec y : danc il divise p — p^ Or p cl P' tsOiit plus pelitâ que x.
Donc
el régal i lé (Go) donne alors (fil) Z^l\
L'égalilé (53) s'écrit alors
trou
iTon
Comme il n'y a qu'un développemenl possible de x en fraclioti continue^ et (jue d'ailleurs la suite a^ ù, , .,, / contient un noinbrr fïâir d'éléments, celte suite se compose d'une ou plusieurs foiîi b suite (A^B, . > ., L) dëGuie au n'' 330. Donc la substilulioii
vêï une des substitutions que nous avons désignées plus haut par
\Qi S^yl' VQt sj
li càl donc démontré que les substitutions ( ^1, cbangeunt x
en Ini-méine, pour lesquellesa, [ï,7iS sont positifs, ne sont aulrr% nue les substitutions
/Ti B,\ /1>, HA \Q» s,r \Qi ^Si/
tenant aux subslilution? dans lesquelles a, p, y, 5 ne sont |>a> tous positifs^ nous avons dit que ce s^ont les inverses des précédentes.
Donc, en dëCniLive, le procédé indiqué au n' 336 donne bien toutes les subslilulions modulaires transrormant jt en Ini-ttiéoie.
FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. a59
339. Remarque, — Toutes ces substitutions constituent la suite des puissances, positives ou négatives, de la substitution
\Q. sj
Il suffit, pour le démonlrer, de démontrer que la subslituliou
(«+i »+- \ çg^ jg projyji jg Ja substitution ( " c")?^*" '*
substitution ( ^ „ )•
En effet
