A,B, ...,K,LI

^=rA,B,....L,A L, ,...A, ...,L1 i

' f (n périodes A, B, . . ., L).

^ =rA,B L.A L,...,A,...,K-|

7~^ s'obtient en remplaçant dans ^^ le dernier quotient incom-

yln-hi * Vjn

plet L par

~^ s'obtient en remplaçant dans pr^ le dernier quotient incom-

plet L par

Donc

p^ ^ q;''^^'^^" p.p. hQiR;>

Qn^i Pin ^«4 PiQ«-^QiS«

5ip„-t- R„ R/14 1 S| RiP„-4-SiRfl

Ri^ ^^ H,Q„-^S,S„

36ô rjlAP. VI, — LES FORMES OtAORATIQUlS BINAlllK^.

D'ailleurs on voit facilement que les nombres l'il%— i^iH^ et P, Q« -f Qi S/, sont premiers entre eux ; de mèine les nombres H^ P,,H" S* K,, et R^ Qn^S, S«. Les égalités précédenleidotinent

donc

(Vi^ Pit*,,-+^QtR«.

Donc la sttbslitulioii est identique à

l%P;, -QjH,, R,P,. hS,H«\

Or il est facile de reconnaître dans celle dernière le produit dt deux ï^ubstitiitioiis

/P. H.\ /Pi H|\

Le ihéotème esjL donc dé mon l ré-

3tO* Exemph. — Soient les deux former

U,ï. — \h (— M^»-— ï"5p — 7tî)

du n" 330.

Ou II

Donc eu pus util

On en deduii Mil)

iu,

5;r-hi

ix-^- 1

'a3jî+4

fi ~

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION DE PELL. 26 1

Donc la subslilution ( j Iransforrae ts}\ en co,.

Mainlenant, cherchons loules les substitutions modulaires qui jouissent de cette propriété.

Pour cela cherchons toutes les substitutions modulaires qui transforment jt en lui-même.

donc les substitutions cherchées sont les puissances positives ou négatives de la substitution

Les substitutions modulaires, transformant co', en cof, sont les substitutions de la forme

Enfin les substitutions modulaires transformant la première des formes données dans la seconde sont les substitutions précédentes, ou ces substitutions multipliées par la substitution I (a«295).

341. Résolution de V équation de Pell, dans le cas du discriminant négatij. — Mais on pourrait chercher à résoudre autrement le problème de trouver toutes les substitutions modulaires qui transforment une forme, réduite ou non, en elle-même.

En effet, la solution donnée au n** 3i7 pour les formes à discriminant positif s'applique sans y rien changer aux formes à discriminant négatif. Nous avons vu que :

Toutes les substitutions modulaires qui laissent invariable une forme (a, 6, c) sont de la forme

a, fl, Y, ^^«/ï/ don fiées p€ir les formules

\ nu

^ e^^f/l/ /e diviseur de (a fomte et /, ?/ r tarif deux nùmbt*€» entiers sadsfaisani ù V équation dt? Pell

Mais le coel'ficieul de T^étaDt ici nég^alif, la métliode de résolution de cette équation donnée au n^ 318 ne s'ap|ilique plus* Nous allons donc, au contniire, déduire b solution de réqualioa

(le l*cll, de la connaissance des substitulîons ( ^ } déterminées par

la méthode précédente.

yiâ* Nous ni|>pellerons d'abord rjuc, ainsi qu'on Ta remarqué^ iin n"3i8, la quanlilé |D est divisible par 'j^, et que le quotient est congru a zéro ou à ^ — r (iiiod^)» Donc la quanti tr

est aussi divisible par or-, et le quotient -y est congru à zéro ou

;i un (mod ^) ou ce qui revient au même; on a l'une des deii\ rtin-

l^ruences

A ^ it ( inofl^*),

4A:^ff« (tnod4ï*)-

Je disque^ réciproquement, deux nombres A et ^ qui satisfont è Tune de ces conditions sont l'un le discriminant changé de signe et Faulre le diviseur d'une forme réduite.

En eflel, si c'est la première condition ii = o(tnodT2) i{iii est ^tatisfaite, considérons la forme

unité près par défaut Si c'est la seconde condition 4^ ^ ^^ (mod ^t*^) qui est salis-

*/ étant la racîue à une unité près par défaut de —

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION DE PELL. 203

faite, considérons la forme

a étant la racine à moins de - unité près de --» c'est-à-dire celle

des deux racines, par défaut ou par excès, qui est la plus approchée.

Ces deux formes ont comme discriminant — A, comme diviseur 0-, et elles sont réduites.

En effet, en calculant le discriminant de ces formes, on trouve dentiquement — A.

D'autre part, dans ces deux formes les coefficients de x^, dexy et de y* sont divisibles par <t, et comme d'ailleurs, le dernier est — 0-, ce nombre o- est leur plus grand commun diviseur.

Enfin ces formes sont réduites, car les conditions du n** 331 deviennent ici : pour la première forme

et pour la seconde

conditions remplies, d'après la définition de a.

Connaissant une forme réduite ayant comme discriminant — A et comme diviseur o-, pour résoudre l'équation i^ — Aw^:=<t*, on calculera, comme on l'a fait plus haur, une substitution

modulaire ( ^ j qui laisse cette forme invariable, et les nombres

/, // correspondants sont, d'après les formules (63), donnés parles

relations

nUF* VI, -- IBS PaRUES QtAÎ>ll A TIQUES BINÀIBIS,

f ^ 73 -4- àiif

h f^ € élant le deuxième ei le troisième coeffîcîenl de la roroic. De sorlc que, dans le cas de A= o(modo'^), on a

f — ^{'x — a^fi} tilj (Iaz3§ le cas de 4^ ^^ ^^ (mod 4^'^}) on a

Dans ces formules, on donnera à a ei [i ton les les valeurs possibles^ à savoir les premierîj ei seconds €oefncienl& des sultslUtitions modulaires qui laissent la forme invariable, et rëquatîon de Pell sera complètemenl résolue. Cette résolution n'est d^aillciirs qu'un cas particulier de l'analyse indéterminée du second degré qui sera exposée plus loin.

343. Cherchons, f n parliculrer^ le système de solutions doot les \alcurs absolues sont les plus petites possibles (la solution I ^=r a^^ fi ^ o non comprise). Remarquons, en elTel, que d'a|)i6s la forme de ^équation

li's valeurs absolues de l et de u satisfaisant a réqualion croïsseDt oti décroissent ensemble*

Potir cela, d*après la formule

ît faut prendre (jour ^ la plus petite valeur possible. Or les valeurs de [i sont les nombi*es

Wu Ri, ..^

du n" 336 pour les substitutions dans lesquelles p est positif, el les valeurs

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION DE PELL. 205

pour les subslilulions inverses (sans compter la valeur 3 = correspondant à la substitution identique, qui donnerait la solution écartée par hypothèse u = o, t^ 7).

D'autre part,

Ri<Ri<..; il faut donc prendre

P=Ri el, par suite,

Donc, dans le cas de

Aso (mod »'), on a

/ = cr(P,-aR,) et, dans le cas de

4Ar=a* (motl4»*), on a

w = Ri,

/= ?(3P, — 2aR|-i- Rt).

Tel est le sjstème des deux plus petites solutions positives. 3^44. Exemple, — Soit Téquation