RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE PELL
d'où, en multipliant les équations (64) et (67),
7^ (jS gt
Or les deux facteurs qui figurent dans le premier membre sont, par hypothèse, égaux à i. Donc
— ïr- = «
ou
/*— Aw«= <x«;
l et u satisfont donc à Téquation. Mais il reste à montrer qu'ils sont entiers. Supposons d'abord
A — o (modd'); on a
^«— Am'»= a».
Donc T^, qui divise A, divise aussi t'^ et l"^. Donc o- divise t' et t". Donc les formules (65) et (66) donnent pour / et u des valeurs entières.
Supposons maintenant
4 A 5= a* (mod4^');
on en déduit d'abord que a- est pair.
Soit
On a
(68) Asp* (raod4p«).
(69) ^'«-Aw'« = 4p«,
(70) r*»— Am''*=4P«,
t't'-h lu'u"
L'équation (68) montre que A est divisible par p^. Les équations (69) et (70) montrent alors que t^^ et t"'^ sont divisibles par pet, par suite, que l' et /' sont divisibles par p.
a68 €HAP* VI. — LES PORXeS QUAlïllATIQFBS BlTîÀllB?î*
Soît
Ar^^pï^ /'^tj^p, f'-^a'p.
Les formules précède» tes deviennetil :
IJéqualion (ja) montre que r/=^ est de même parité que 5w'*^ el réqiiation(73) que V'^ est de même parité que or/-\
Done (0^6' )a est de même parité que (5w'/i^)2 et, par suite, 6'ft' l'Sï de même parité que oi/'w".
Donc / est un nombre entier.
U*autre part, d'après iMqnation (71), 5 est impair.
Donc 8'*, étant de même parité que qu*^^ est aussi de m^me parité que u*'^.
Doue V et (/ sont de même parité,
il en est de même de h^ ci u".
Donc (*W/ et H'^ti* sont de même parité.
11 en résulte que u est entier.
3i6. Nous ferons encore la remarque suivante : soît l, u un î^js terne de solutions positives. Les deux quanti les i et ( — tt) cori* stituent aussi évidemment un sj^slème de solutions de réqualioD de PelL On a d'ailleurs
fï— A«ï
Ceci prouve d'abord que la quantité - -"— est positive.
De plus les deux quantités positives ^—f — — — ^— ayaot
comme produit J, la plus grande, "^ " ^ ? est pluâ grande que l ; autre. ^ '—m esi plus petite que k
RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION DE PELL. 269
Réciproquement, si un système de solutions /, u est tel que — — — soit plus grand que i, t ei u sont positifs.
Car Tégalité (74) montre que ~" " est positif et plus petit que I . On a donc
d'où l'on déduit sans peine que / et w sont positifs.
Si, au contraire, un système de solutions t, u était tel que la
quantité ^ fût plus petite que 1, c'est que t serait positif
et u négatif.
347. Ces remarques étant faites, appelons /, // le système des deux plus petites solutions positives et posons
c'est-à-dire
En donnant à n les valeurs entières successives croissantes
on obtient une suite indéfinie de systèmes de solutions positives
'il ''1» ^2, wj, •• t '«» W/11 ••••
Je dis qu'on les a tous. Supposons, en effet, qu'il existe un système de solutions positives, ï, U, non contenu dans la suite précédente. T ne pouvant être plus petit que ^,, puisque /, // représente le système des deux plus petites solutions positives, T serait compris entre deux nombres consécutifs de la suite l,, c^ '/î+iî p2ir suite, U serait compris entre u,t et iin^i^ et l'on aurait
/« -h M;, /Â ^ T -4-Uv/Â ^ tn+i H- M/,+, /À
