RÉSOLUTION DE L' ÉQUATION DE PELL. 27 I

Cherchons comment les indices des solutions de Inéquation de Pell correspondent aux exposants des puissances.

Je dis que f„, u„ correspondent ci[ cl*

En effet, il est évident que les valeurs positives de %„ et y,, données par les formules (76) correspondent aux valeurs positives de n et croissent avec n.

D'autre part, il en est de môme des coefficients de la puis-

, /Pi R,\ sance/i""* de ( ^ ).

\Qi Si/

Donc /«, u„ correspondent ai c ) *

\Qi Si/

Le théorème s'étend facilement au cas de n <C o.

Il se démontre de la même façon dans le cas où il 1^7^ {moi ^t^).

349. Résolution du tt*oisiènie problème du /«^ 305 pour les formes à discriminant négatif : Étant donné un discriminant négatif, trouver les différentes classes de formes ayant ce discriminant.

Soit A le discriminant changé de signe. Cherchons d'abord les formes réduites ayant ce discriminant. Soit («r, 6, c) une telle forme; on a(n°33i)

<77) rt>o,

<79) a-^'ib-^c <Co,

< 80 } rï — a é> — c > o,

parce que la forme est réduite, et, d'autre part,

<8i) 6*— rtc = A.

Les inégalités (79) et (80) donbenl, en les retranchant membre •à membre,

et, en les multipb'ant membre à membre,

Réciproquement les deux inégalités (82) et (83) peuvent rem-

CHAP. YL — LIS FORIES QtJAIUlATIQLE^ ei.NAlll£^*

placer les deux iuégalilés (79) et (80), car l'inégalîli? (83) mouU-c que les deux quantités fi 4- 26 + c et a — 26 + r sonl de signe» conlraires; et d^ailleiirs puisque 6<Coi c'est évidemnieni la première de ces quanlilés qui est négative, et la seconde po&ilivc-. Ainsi Ton peut remplacer les cinq conditions jvrecéderites par les cinq suivantes :

(ri) (m) (87)

à < ôj

AjouloiiA à Tégalilé (87) Tégalité (88} multiplîtc par 4 ; it vient

iroii, puisque

cl fi fortiori

a > o et c < D»

Ou donnera donc à a SLiccessivement toutes les valeurs entière* posiùves, depuiiï i jusqu\iu plus grand lïoiïibre entier inférieur

Une valeur de a étant clioisic, rinégalilé (pu) montre que l*0ri pourra prendre pour c toutes les valeurs négatives, depuis — 1 jusqu'à l'iitilicr négatif iinniédîateinent supérieur a a — y i*^-

a cl c étant choisis» ou prcudn* pour ù la valeur négîilt\«*

if = — /a H- a€ ,

a condition que cette valeur soit rationnelle.

Les valeurs de a, 6, r trouvées, satisfaisant à Tinégalité (9C1) et a Tégalilc (88), saLj&font à Finégalité (87). D'ailleurs la valeur de €i est positive, celles de i et de c sont négatives. Ces valeurs ÂRlîsfont donc u tontes 1rs conditions.

^itt

RÉSOLUTION DE l'ÉQDATION DE PELL. 278

On trouvera ainsi plusieurs formes réduites de discriminant — A (on en trouvera certainement, car il existe certainement des formes de discriminant — A, par exemple la forme x'^ — AX^)»

Il restera à reconnaître celles de ces formes qui sont de même classe. D'après ce qu'on a dit au n" 334, ces formes se distribuent en groupes de formes de même classe. Le nombre de ces groupes est le nombre des classes des formes de discriminant — A.

Il importe de remarquer que ce nombre est fini.