Exemple /. — A
On doit essayer
a = iy « = 2.
Pour r/ r= I ,
Donc on peut essayer
Pour a-^'i^
ce qui ne donne aucune valeur de c.
Il faut donc prendre
a = i, c = — I, alors
il y a donc une seule forme réduite
Par suite, il y a une seule classe de formes de discriminant égal à — 2.
Exemple IL — A = 3. Alors
On doit essayer
Pour a ^rz I,
Donc on peut essayer
^^^^^V CBAF. —
LES FORMBB QUADRATIQUES &lîfAl»If
^^^^^H valeur qui n'est pas rationnelle.
h=^^li — l,^-\.
C > 2 — ^/Tl.
^^^^^B Donc on peut essayer
il ^^ V^3— 3 = -!*,
^^^^^^B Pour
^^^^^^^^ n^j a valeur
possible de c.
^^^^^^^H On trouve ainsi deu\ formes
-\.-'i) el (a,--!, — t).
^^^^^^^1 qu'elles
oe sont pas de intime classe.
^^^^^^^^H donc deux
asses de formes de discriminanl
égal ù — .t. ^1
^^^^^^^H Exemple
^ Il faut essayer
rt = 5t, « = 3, rt ^ 4.
c > 1 — /âô,
c > u — v'îô,
^^^^^H essayer
^^^^^H essayer
^^^^^H Pour «1 = 4t il
a aucune valeur possible de r.
^^^^^^1 Ne gardant de
valeurs que celles tjui donnent
des valeur» ^|
RÉSOLUTION DE l'ÊQUATIOX DE PELL. 276
rationnelles de 6, on trouve les formes réduites
(l, — 2, — l) et (2,-1,-2),
<]ui ne sont pas de même classe.
Il y a donc deux classes de formes de discriminant égal à — 5.
Exemple IV. — A = 7,
Il faut essayer
Pour rt = I ,
c>i — ^28, il faut essayer
Pour a = 2,
il faiil essayer
Pour a = 3,
c > 3 — v/28, il faut essayer
Pour a = 4 >
c > 4 - /î8, il faut essayer
Pour a = 5 ,
il n'y a aucune valeur possible de c.
Si l'on essaye ces différents systèmes de valeurs de a et c, on ne trouve que quatre de ces systèmes donnant une valeur rationnelle de bj et Ton arrive aux quatre formes réduites
Mais si Ton développe les premières racines de ces formes en fraction continue, on trouve respectivement
r4, 1, 1, 1, 4ti,i, I, ...1, n, 1,4.1, 1, 1.4,1 — 1,
ji, 1, 1,4, 1, 1, 1,4, ...1, p, 4, 1, î, 1, 4,1, |.
276 CIIAP, Vl. — LES FORMES QUADRATIQUES BiHàlRfiS.
D'où Ton dédiai que la première et la seconde forme sont ilc même classe, ainsi que la troisième et la qualririne (n" 333). Il j a deux classes de furines de discriminant égala —7»
§ VI. - Recherche des nombres représentables par we forme.
3ol- Nous revenons cufiii au problème fondamental de b tliéorte des formes, énoncé au n" 273 :
Vm'rsiirn nombre m est reptésentabfe par une form€{aJj,n et iroaver ies valeurs de x et de y, pour ieM/uelles la trprr tentation a lieu^
En d'autres termes, résoudre, sic est possible, V équation indéterminée
Tout d'abord j nous pouvons nous borner à chercher les représentations /?ro/;re5 du nombre m par la forme («, 6, c). En effet, comme nous Tavons vu au n ■ 27i, si un nombre m est improprtraent représenté par une forme {a, b, c), pour les valeurs i^. 0/ des variables : r** le nojubrc m est divisible par S'| a" le nombre % est propremeat représenté par la forme (n, b, c) pour
les valeurs x\ f des variables.
Donc cberchoos les diviseurs de m qui sont carrt^s parfaits, S i\ nVn existe pas, le nombre m ne peut être improprement r*pr*^senlé. S*il en existe, soit S^ Tun d'eux; on clierclicra les repré-
sentations propres ou nombre p-
Le problème étant ainsi limité aux représentations propre*, tl<^ montrons le théorème suivaot :
3Sâ* TiîèoiikME, — Pour qu'un nombre m soii propremetti représeniabie par une forme (a, b, c), il faut que le disafniinani île la forme, ekangé rfe signe, soit reste fpiadranqm' de m .
En effet, soient %, -{ le système de valeurs de iV et y pour lesquelles la forme («, 6, c) représente proprement le nombre tti. de sorte que
