RECHERCHE DES NOMBRES REPRÉ8BNTABLES PAR UNE FORME

a et r étant premiers entre eux, il existe deux nombres p, S, tels que

ao — Py = ï •

Ceci posé, effectuons sur [a forme (cr, 6, c), la substitution modulaire

Cette forme devient

Le premier coefficient de cette forme est justement égal à m; posons les deux autres égaux à n et /?, et cette forme s'écrit

Mais elle est de même classe que la proposée, puisqu'elle s'en

déduit par la substitution modulaire ( ^ V Donc elle a même

discriminant. Donc

rnp — n' = D ;

d'où

/i' = — D (mod m),

ce qui démontre le théorème.

353. Cette condition que — D soit reste quadratique de m est donc nécessaire, mais n'est évidemment pas suffisante, pour que le nombre m soit représenlable par la forme (a, 6, c), puisque (feux formes de même discriminant ne sont pas toujours équivalentes.

Mais on voit, par la démonstration précédente, que non seulement — D est reste quadratique de m et que, par conséquent, on peut déterminer des entiers /i, p satisfaisant à la condition

mais que, de plus, la forme

(ni,n,p)

est de même classe que la forme (a, 6, c).

Réciproquement, si Von peut déterminer des entiers /?, p satisfaisant à la condition (91) {ce qui exige que — D soit

1J% CriAP, rj. — LES FOnXES QtrADRATIQiES niTfÂlIÏEK.

reste quadratique de m)^ et. que ces n ombres n^ p soient teh que les formes {m, n,p) et (fi, h, c) soient de même classe, le nombre m est représentable par la forme {^/, bj e).

En edel, le nombre m est évidemment représcotablc par la forme (//?, /^ //) (pour j?= i, ^-^^ o) : il Tesl dooc aussi par b forme (fit, 6, c) qui est de même classe.

D^oîlletirs on sait trouver les siibstîlii rions qui pormellcnl de passer de ia forme {m^ n^ p) n h forme (a, 6, c), on saura doue trouver des valeurs de .r etjK pour lesquelles la forme («, 6, ci représente le nombre /?i, correspondantes à la racine n de h coo* gruence

ii*?s— D i mod m).

Soit f ^ jï la substitution qui fait passer de la forme (a» i, r»

k la forme (m^ '*?/>); 5t et y sont un sysl^me de valeurs dex elj pour lesquels la forme (a^ b^c) représente le nombre n.

334» Mais dans la congruence

(modm)i

si Ton trouve une raeioe /î, il en résulte une infinité d'autres qui sont coog^rues à celle-ei (modw)* Je dis que toutes ees valeurs de n donnent un même sjslcme de valeurs pour .r et j^> En eflet. à un tel système de valeurs ot, y correspondent une infinité de sys* lèmes de valeurs pour (ï, S, déterminés par Téqualion

Soient [iy, Ou Tun d'eux, tous les autres sont donnés par le>

formules

étant un entier arbitraire.

Si Ton remplace p et 3 par ces valeurs, dans l'expression de w,

rt = aoEp H- 6 ao -h 6 Py -*- ^ Y^t

on trouve

/] = a oEo ptf^ ^ 310^ -+- 6 pg Y -1- c Y^û-h ( El a* -f-^t^ti^ -^c^^}t

RECHERCHE DES NOMBRES RBPRÊSBl^TABLES PAR UNE FORME. 279

OU, puisque <2a^+ 26aY4-cv2=: m,

/i = noH- mt.

On voit donc bien que les valeurs de n congrues à une même valeur n^ (modm) correspondent au même système de valeurs a, Y pour X et y.