Ce procédé peut même servir à résoudre Téquation. Soit

par exemple,

i3j?*h- 7,0 xy -+■ \%y^ =7*7- On peut écrire

Il faut prendre y de façon que 9821 — 56 j^ soit un carré. D'ailleurs x^ y étant une solution, — x, —y en est aussi une. Donc on peut se borner à y positif.

Pour

^ = o 9321 — j6^'= 9321 qui n'est pas un carré.

^= I 9321—56^^=9265 id.

7=2 9321 — )67* = 9097 id.

7= 3 9321— 56 ^«= 8817 id.

y= f\ 9321 — 56^»= 8425 id.

^ = 5 9321 — >6^*= 7921 qui est le carré de 89.

y = (S 9321 — 56 ^«= 73o5 qui n'est pas un carré.

y = '] 9321— 56^*= 6577 id.

^=8 93ai— >6^*= 5737 id.

^ = 10 9321 — 56^*= 3721 qui est le carré de 61.

y = Il 9321 — 56^'= 2545 qui n'est pas un carré.

y z= 12. 9321 -- 56^*= 1257 id.

y = i3 9321 -- 56 7« est négatif.

On peut donc prendre

j^ 5 avec i3a?H- 10^ =dt 89,

ou

y — 10 avec i3j7 4- 10^ = di 61.

Pour y = 5 avec l'dx -{- loy = 89, il vient i3a? = 39, X = 3.

Pour y = 5 avec \ix -{- loy =^ — 89, il vient i3x = — 139, impossible.

28^ CHIP* rr, - LKS FORHRS QIUDRATJQUES MKJLIRK!^.

|*our j = lo avec i3jc H- lor = <3(, il vient

Poiiry =: 1 o avec i 3.r H- ny ^= — tu, il vienl

1 î r ^ -^ Hî I , i inposs ili I c.

En rL'sumé, quatre sysLêmes de solutions

359. Cas particiilieroù m ^^o. — Dans ce cas parlicolier. V équation indé terminée à résoudre est

i>ii, en poâanl - ^— w,

ïtti^H- 2 // ti* -k c ^ O.

Pour qu'elle soit possible en nomlires entiers, il faut donc que l'équatiofi

itu^^^ %t tu + c = o

ail .ses racines corumensurables, ce qui exige que D soit un carre parfait. Cette condition étant remplie, soient

fi ^* S

ces deu:ï racines réduites à leur plus simple êîipression, Oo a

Les solutions générales de Inéquation (proposée sont a lois di>nnçe^

par les deui sjstèuicîï

l étant un entier arbitraire.

360- Nous avons toujours supposé jusqu'iei que le diâcrin^inanl changé de signe de la forme n'était pas un carré parfait ; parce que,

ANALYSE INDÊTERMINÉB Dt SECOND DEGRÉ. 285

s^il en était ainsi, la forme se décomposerait en un produit de deux formes linéaires divisé par a (n** 272).

Supposons maintenant que 6^ — ac soit un carré parfait d-. Comment résoudrait-on alors Téquation indéterminée

ax^ -f- 2 bxy -+- cy^ = /?i ?

C^elle équation peut s'écrire

\ax -\-{b -T- d)y\\ax -\- {b — d)y\ = am.

Pour la résoudre, il faut décomposer de toutes les façons possibles le nombre am en un produit de deux facteurs a, a' et poser

ax -f- (b -4- d)y — a,

ax -4- ( 6 — d)y -- %', d'où

lad

id

Mais parmi les différents systèmes de valeurs en nombre fini ainsi trouvés pour x^ y, on ne devra accepter que celles qui sont entières.

^ VII. — Analyse indéterminée du second degré.

361. La question traitée dans le Chapitre précédent appartient à l'analyse indéterminée du second degré, dont nous allons maintenant nous occuper en général.

Soit d'abord une équalion du second degré à une inconnue

ax^-\- bx -T- c = o.

Les coefficients a, b^ c étant des nombres entiers, on demande pour X des valeurs entières.

Or on a

Donc, pour que l'équation proposée admette une solution entière, il faut d'abord que b^ — 4^'^ soit un carré parfait m-.

en A p. VI.

LES FORMES QliÀDnATJQltES filNAlIIS.

Ensuilc, il faut que Tim des deux oonibres — b±fn ou tous le^ deux soient divisibles par 'la.

On voil d'ailleurs immédiatement qu'une solution entière de réquation est un diviseur de c. D'ailleurs la question n'est cjn'uii cas particulier de la reciierche des racines commensu râbles, exposée au tiP 239.

362. Équation du second degré à deux inconnues, -* La Tortne générale d^une telle équaliou est

(93) aœ^'\*ib3ty-^€y*-^%dT-\-i€y^f=^.

Les coefficients a, 6, c étant des nombres entieru, on demande les systèmes de valeurs entières de x et ) , qui satisfont u celtt* équation.

(On peut toujours supposer que les coefficients des termes tnx\\ a:jj^ soient pairs, car, s'il n'en était pas ainsi, on inultiplicrait tou* les termes de IV^quaiion par -a,)

Dans le cas particulier où les coefficients d et 6 sont uuls, réqualion proposée se réduit à

cl la résolution de réquation n*est autre chose que la question traitée dans le Chapitre précédent.

363, Passons inainteDant au cas général où d He sont quelconques* Nous diviserons ce cas général en deuxj suivant qur H€ — b^ est différent de Kêro ou non, ou, pour parler un Imgage géométrique, suivant que réqualton (gi) représente une courbe a centre unique ou une courbe du genre paraljQle.

Premier vas. — ac ^b* ^q. Cas d'une courbe tt cenit** unique, — Multiplions Téquation proposée par {ac — ù^y ^m n'est pBfi nuK L'équation obtenue peut S'écrire

aliac — b*}sr^ i he — cd)\^

-^iih[{ac~^b^}3; — {be^cd)]{iac — b^)y — {bd— ae)]

^à[{ac^b^)y-^ibd^ite)Y

^ { ttc — h^)( acf-i- i bde — wt-î — cd^ — /^* )|

Posons