ANALTSB INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ

Posons aussi

ac — b^=^ D,

acf-i- ibde — ae^— cd> ^ fb'^ — A, il vient

(94) aX«-i-26XY-HcY» = — DA.

(Remarquons que la transformation précédente est la même que celle qu'on fait en Géométrie analytique pour rapporter la courbe à des axes passant par son centre.)

A des valeurs entières de a; et j^ correspondent des valeurs entières pour X et Y. Il faut donc commencer par résoudre l'équation (94), ce que Ton sait faire.

Si elle était impossible, Téquation proposée le serait elle-même.

Si elle est possible, soit X©, Yq un système de solutions. On aura

1X0 -h be — cd X = 7- f ac — 6* ^ Yo H- oa — ae y - ac-b^ '

solutions qui ne seront acceptables que si elles sont entières.

Si D > o, la question peut être considérée comme résolue, parce que le nombre des valeurs de X©, Y© étant limité (n** 357), il est facile de voir quelles sont celles qui satisfont à cette condition que les expressions (95) soient entières.

Mais si D<;o, le nombre des systèmes de valeurs trouvées pour Xo, Yo étant infini, il n'en est plus ainsi.

Dans ce cas, ces systèmes de valeurs sont les premiers et troisièmes coefficients des substitutions qui transforment la forme (a, 6, c) en une certaine forme ( — DA, /i, p) (n^ 35S).

Ces substitutions sont de la forme GLH~*, H et G étant certaines substitutions déterminées; L étant une puissance quelconque, positive ou négative, d'une substitution déterminée

Soit

/a PY/«* PA.

X et Y sonl des fonctions linéaires de a^t, P*, y^, 5*.

a88 GHAP. vu — LES FOBtlt OtiADItATiQUBS BI.IAfRBS.

Or on a vu (ii^ 301 ) que les resleâ de ûêa^ ^a* y*» 3^ par nijipoi t ^ lin modiil<? quelconque, se reproduisent pt'riocnqMenieiU. Il cti est donc de même pour X^ et Y^i et, par suite, pour li^s nuriiératctir^ de^ expressions (93), relativemenl au module etc — ù-. Donc 1) siiHira de trouver la période, puis d'essayer dans une période, les valeurs de X et Y qui rendent les expressions <95) entières.

Dans les autres périodes, ce seront les valiîurs de même ranj^ qui satisferont à la qtiesLiou.