ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ

cette congruence est impossible, parce que 3 n'est pas reste quadratique de 4*

2** Représentation propre de 9.

II faut déterminer n tel que

/i-^ 3 (mod 9),

n doit être divisible par 3. Posons n^=^'in' \

3/i'ï^i (mod 3), congruence impossible.

3*^ Représentation propre de i .

11 faut déterminer n tel que

/i2--3 (mod i).

La \aleur de n, n'ayant besoin d'être déterminée qu'au module I près, on peut prendre pour n n'importe quelle valeur, par exemple n = o. On doit ensuite déterminer/) par la condition

— /> = 3, d'où

et l'on a à considérer la forme

Cherchons si les formes (1, 1, — 2) et (i, o, — 3) sont de même classe.

Les premières racines de ces formes sont

O), =- — H- /3, w'i = v/3, (i)i= To, I, 2, 1, 2, ...1, w', = Ti, I, 2, I, 2. .. l.

On reconnaît que les deux formes sont de même classe. Posons

on a

CHAI*. VI. — tUB FO«lllS QMORATIQUES ÛWÂliP

Quanl uti\ subslîtulîons modulaires qui IransfûrmenL ^ eo laimôme, ce soni les puîssanccs de la subsULitùon f j-

Les subâliUitianB qui transforment txi\ en Wi sont de la f<*rmc

en posant

L*iN \aleurs d»^ X, Y qui saLÎsfoal à l'équation (97) sonl ilom^ les premiers el troîsit^mes coeffieîents de ces substitutions, cm ces coefficients changés de signe, c'est-à-dire

(les signes 4- ou — plant pris ensemble)*

Les valeurs de X el \ qui satisfont à l'équation (96) Sont doni-

Les formules {95) donnent alors

J^6pA-^3

îPjfr-i

Pour / = M, Pour /. = I

Pour A =: — I ,

etc-

ANALYSE INDÉTERMINÉB DU SECOND DFGRÉ. 291

36S. Exemple IL — Soit Téqualion

a?' -h ixy — 6^* ■¥- IX — 2^ -f- J = o.

Od a donc à résoudre l'équatioa

Xi-f.2XY-6Yî = — 126.

Cherchons d'abord les représentations propres de — 126 par la forme (1,1, — 6), il faut pour cela résoudre d*abord la congruence

n^^y (mod — 126).

On trouve

n = rh 49.

I" Prenons d'abord n = — 49-

Nous déterminons alors p par l'équation

/i*-h 126/? = 7, d'où

Nous avons à chercher si les deux formes

(1,1,— 6) et (— 126, — .19, — »9)

sont de même classe.

On trouve pour les développements des premières racines de CCS formes en fractions continues

ti>i = — i-h/7 =ri, I, I, I, 4, ... 1, .

^i = ^irT^ = r--'»'^''^>3,i,i,i,4,...j.

Les deux formes sont de même classe, et posant r = 1 I I I 4, î I ï î, . . 1, on trouve

— yx — 2 173: -t- 5

2Q'à nttiP. vu = LES FORMES ÇlTADR A TIQUES BINAIl^S.

Les stibstiHilions qui Iransformenl x en luî-mùme ionl \e^ pitUsaoces de la âubsliLulion

Posant

on trouve que les siibslUutioïis qui transforment la forme (i . i , — iJ» en la forme (— 126, — 49, -- "9) sont de h forme

/ 3ij^-*i7pAH-57A— 170A 2ai-7?^— i^A- 7H

5aA— ï7?Jî'

aar* "7PA

Les valeurs de X et Y sonL donc

ou d^où

X = {5fl£x— I7P*^ 5Yit— I/^a).

\ ^ ^ ( 3 lA " 17 ?A + 5ya - 17SA n Y =— (SfltA — i7pA)*

(jK = ^

(SctA — î7^A)-4-a

(les signes + se correspondant ainsi que les signes — ).

Reste à déterminer A* de façon que les numérateurs de ce^ expressions soient divisibles par 7. Or, si l'on forme les puissances

successives de la substitution f ^ U depui s la puissance xérOtOti

Irouvc qu'elles sont respectivement congrues (mod 7) à

pour les &cpt premières puissances; à partir de quoi les mêmr^

résultats se reproduisent, la période éhiul aiusi composée île ^ept termes.

ANALYSE INDÉTKRIIINÉB DU SECOND DEGRÉ. QQB

Ceci posé, il est facile de voir que les numérateurs des expressions (98), prises avec le signe H-, sont divisibles par 7 pour toutes les valeurs de A', tandis que les numérateurs de ces mêmes expressions, prises avec le signe — , ne le sont pour aucune valeur de /. On a donc les expressions

ar= 5aA:— 17 ^A: -4-5 Yi-~i7^i^-^ > 5gA-i7pA-^'^-

comme solutions de Féquation.

Pour A* = o,

ar= I, ^= — 1.

Pour A' = I ,

elc.

2*^ Prenons maintenant /? r^-f- 49.

Les deux formes à comparer sont

(I, I, —6), (—126, 49, — MJ).

wi =-—14-/7 =r»' ^ I» ï. 4» ..]»

w', = ~^^^^ ' =ro, a, I, 2, I, I, î, I, ... 1.

£n posant ici

et faisant commencer la période de w, au second élément de la période véritable, on voit que les deux formes sont de même classe. On a d'ailleurs

et les substitutions qui laissent x invariable sont

/Il oV./»*- h\.

le 5/ Vy* s*/'

on IrouvÊ

On Irouve comme période

L€& expressions (gg) prises avec !e signe H- ne sont enlîères jioiir aucune valeur de A. Prises avec le signe — , elles son! euhrres pour toute valeur de k.

On trouve ainsi pour k:=o^

pour /i = I ,

etc.

Nous avons trouvé les représentations propres de — 116 parla forme (i, 1, — 6). Mais 126 étant divisible par 9, il ^ a peul-étrc des représentations impropres de — 126 jiar hi forme (1, 1 , — *»)* Tour les trouver, il faut clinrclier les représeulalions de

— ïa6

cfVst-â-dire résoudre Téqualion

Il faut d^abord résoudre hi congruence

on Irouve

n ^ :fc 7.

i" Prenons d'abord n = y. Nous déterminons alors p par

ANALYSE INDftTBHlIINÊB DU SECOND DEGRÉ.

Téquation d'où

On a donc à comparer les formes

(I, 1, -6), (-14, 7, -^)- Les premières racines sont

(.>,= n, 1,1,1,4, », ir 'i4, .-.l, i*i\^ ro,3,4, 1,1, 1,4, ...1.

Les deux formes sont de même classe

"'1-73^^3 Les substitutions qui laissent x invariable sont de la forme

/i4 ^y^/ûc^ h\

On trouve

d'où

et

X' = zt:(3a^-i3?)tH-3YA— i35a), Y' = ±(3a;t-i3?A),

X=±:(9aA-39pA-^9YA-390A-), Y=d:(9a;t-393A)

±(9%A— 39 ?A-^ 9ÏA — ^O^X) -H > ., = f

r^(9gA— 39pA)-^!:>

On n'obtient pour œ,y aucune valeur entière, en prenant Je signe -h dans ces expressions. En prenant le signe — , toutes les valeurs trouvées sont entières.

2g6 CHAP, Tf* — LES POIHES Ql AURATIQUES IIPÏArnCS.

Pour /{ = o,

Pour /*' = ï ,

^- ff

elc.

Ji" FI este à prendre la valeur /j r^ -- -j, mais nous laissons au lecteur le soin d'achever ces calculs.

366. /{enia/fjNe^ — La méthode précédente s^appliqoe quel que soit le stgne de D, Dans le cas où celle quantité est posîiive, le nonibre des sol niions est liniilé. Il pent alors élre préfcrabîp de procéder par la décomposîtion en carrés, comme le montre Pexeniple suivant.

Soit Féqnation

Nous pouvons écrire après avoir décomposé le premier meaibre en carres par la méthode connue, et rendu Péqnation entière,

On voit que la quantité (3y + 17) doit, en valeur absolue, élrt^ au phtî^ éj^ale à la racine à une unité près de 4 1 ^^ c'est-à-dire qu'on

doit avoir

^2oS3j "h 17;^ 20, dVii

On essaye pour y toutes les valeurs entières salisraisanl à c«s conditions^ et Ton voit si réqualion (100) donne pour x des valeurs entières. On trouve ainsi les systèmes de solutions :