RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DBS FORMES LINÉAIRES
Soit n une solution et
n* — mp — — 3.
Pour qu'à cette solution corresponde une représentation propre du nombre m par la forme (i , o, 3), il suffît que cette forme et la forme (m,n.p) soient de même classe. Mais nous avons vu (n** 323) qu'il y a deux classes de formes de discriminant 3. Ces deux classes ont comme représentantes les deux formes réduites
(1,0,3) et (2,1,2).
Si donc la forme (m, /i, p) n'était pas de même classe que la forme (i, o, 3), elle serait de même classe que la forme (a, 1,2); et le nombre m serait représentable par cette seconde forme. Mais cela est impossible, parce que m est supposé impair, tandis que la forme (2, 1, 2) ou 2:r^-f- 2xy -+- ^y^ ne peut évidemment représenter que des nombres pairs. Donc la forme (m, n^p) et la forme (i , o, 3) sont de même classe.
En poursuivant le raisonnement comme aux n*** 371 et 375 on trouve que :
Tout nombre impair m, différent de i , dont tous les facteurs premiers sont de la forme Qh-^-i, est décomposable en la somme d'un carré et du triple d^un carré de deux nombres premiers entre eux, de 2i*~' façons en désignant par ]kle nombre des facteurs premiers différents contenus dans m.
Exemples :
ii83 = 7 X ii3' = 7ôV3.79*= 34*-+-3.3*.
\,ii83 est encore décomposable en 26 -h3.i3 , mais c'est une
décomposition impropre.)
Comme cas particulier, on a ce théorème dû à Euler :
Tout nombre premier de la forme 6A 4- i est décomposable d'une seule façon en une somme d'un carré et du triple d'un carré.
380. Passons maintenant à la représentation impropre des nombres />a/r5. Soit 2m le nombre proposé et
3lO CHAP. TI. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.
Il s'ensuit que x eiy sont de même parité, comme d'ailleurs ils sont premiers entre eux, ils sont tous les deux impairs.
jrziz 27'-^!.
On a alors
d'où
m = 2a?'* ■+- ix'-h 6y* -h 6^'-+- 2.
Donc m est aussi pair. Soit m = 2 m',
m'= x'^-\- x'-\- 3(y -hj'')-f-i.
œ'^-\'X' et y^-\'y' sont pairs. Donc m' est impair. Ainsi, un nombre pair ne peut être décomposé en la somme d'un carré et du triple d'un carré de deux nombres premiers entre eux^ que s'il est doublement et non triplement pair.
De plus, on a les deux équations
Si j:' et j'' sont de même parité, l'équation (108) donne une décomposition de m'en un carré et le triple d'un carré de deux
nombres
x'-irZy-^i y' — x'
Ces deux nombres sont d'ailleurs premiers entre eux, car, s'ils avaient un diviseur commun, ce diviseur diviserait les nombres
et
rr' -f- 3 y' -4- 2 v' — x' ,
ce qui est impossible.
Celte décomposition de m' est donc une décomposition propre.
Si x' et y ne sont pas de même parité, c'est l'équation (109) qui donne une décomposition propre de m\
HÉDLCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES U>(ÉAIR£8. 3ll
En tout cas, à une décomposition propre de 2 m correspond une décomposition propre de m'.
Réciproquement, soit
une décomposition propre de ni\ X et Y seront de parités différentes, puisque m'est impair. On aura
2mr^4'w'=4X»-h i2Y»r^(X-4-3Y)5 4-3(X — Y)«.
X-|-3YetX — Y sont premiers entre eux. En effet, un facteur premier commun à ces deux nombres diviserait
