X-f-3Y-(X — Y) = 4Y et

X et Y étant premiers entre eux, ce facteur premier commun ne pourrait être que 2.

Mais X et Y étant de parités différentes, les nombres X -h 3 Y et X — Y ne sont pas divisibles par 2. Ils sont donc bien premiers entre eux.

Donc aussi à toute décomposition propre de m', correspond une décomposition propre de 2m.

Il résulte de là que le nombre de décompositions propres de 2 m est égal au nombre de décompositions propres de m'.

381. Passons maintenant à la représentation propre des nombres divisibles par 3. Soient 3 m le nombre proposé et

3 m = ar*-f- 37*.

H s*ensuit que x est divisible par 3 el, par suite, y ne Test pas.

Soient

ar=3j7', 7 = 3yrhi.

On a alors

m = 3ar'«-+-(3yif:r)«.

D'abord m n'est pas divisible par 3. Donc un nombre divisible par 3 ne peut être décomposé en la somme du carré et du triple du carré de deux nombres premiers entre eux, que s'il est simplement divisible par 3.

3lC^ CHàP. Vf. — LES FORMES QUADRATIQUES RINAIRES.

De plus,

/n = (3yiti)»-+-3ar'«,

x'et9.y±i sont premiers entre eux, puisque x et y le sont. Donc à toute décomposition propre de 3m correspond une décomposition propre de m.

Réciproquement, soit

une décomposition propre de m.

X n'est pas divisible par 3, et l'on a

3 Y et X sont premiers entre eux, car X et Y le sont, et X n'est pas divisible par 3. Donc, aussi à tonte décomposition propre de m, en correspond une de 3m.

Il résulte de là que fe nombre de décompositions propres de 3 m est égal au nombre de décompositions propres de m.

Nous laissons au lecteur le soin de terminer cette question en examinant le cas de la décomposition impropre et en traitant quelques exemples numériques.

On remarquera aussi que : lorsqu'un nombre est décomposable en la somme d'un carré et du triple d'un carré de deujc nombres premiers entre eux, il en est de même de tout diviseur de ce nombre,

382. Nous avons été amenés, dans le courant de la question précédente, à parler de la forme ix^-\- ixy -\' 7.y^. Occuponsnous de la représentation des nombres par cette forme. Celle question pourrait se traiter directement; mais on peut aussi la ramener à la précédente en remarquant les identités :

2(ar* -+- xy -\- y^) = 2 f jf H- — j H 7- .

si y est pair et x impair;

si y est impair et x pair;

RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DBS FORMES LINÉAIRES. 3l3

si o: et j^ sonl de même parité; et Fidenlité

2(X«-+-3Y«) = 2[(X — Y)5-4-(X — Y)(aY)-+-(2Y)»].

Ces identités montrent que tout nombre représentable par la forme

est égal au double d'un nombre représentable par la forme

(art -4- 3 j^»),

et qu'il y a autant de représentations du premier nombre par la première forme que du second nombre par la seconde forme.

383. Décomposition d^ un nombre en la somme d'un carré et du quintuple d'un carré, — Traitons encore de la décomposition d'un nombre en un carré et en un quintuple de carré.

La forme x^-f- 5^^, ayant comme discriminant 5, remarquons tout de suite qu'il existe une autre classe de formes de discriminant 5, représenté par la forme réduite

207* H- 'ÀXy -h 3 j*.

Cherchons d'abord les nombres m impairs et non divisibles par 5, représentables proprement par l'une ou l'autre de ces formes. Ces nombres ne doivent contenir que des facteurs premiers dont — 5 soit reste quadratique ; c'est-à-dire de l'une des formes

20/1-+-1, 20^-4-3, 2oA-h7, 20/1-1-9.

Cette condition remplie, soil [jl le nombre de ces facteurs premiers différents, on voit qu'il y a 2t^"^* représentations propres du nombre m par l'une ou l'autre des deux formes citées plus haut.

Mais il reste à déterminer par laquelle de ces deux formes se font ces représentations. Or il est évident que la première forme ^^-+- ^y^ DC peut représenter que des nombres congrus à i ou à — I (mod 5), tandis que la seconde forme

ne peut représenter que des nombres congrus à 2 ou — 2 (mod 5).

3l4 CHàP. VI. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

Donc les 2l*"*"* représentations propres du nombre m sont des représentations par la première forme si m est de l'une des deux formes 5A ii= i, par la seconde si m est de l'une des deux formes

Remarquons d'ailleurs que les at*"*"' représentations par la première forme ne donnent que 2ï*~* décompositions distinctes du nombre en un carré et en un quintuple de carré.

384. Des considérations analogues s'appliquent aux formes à discriminant négatif, mais le nombre de représentations est infini.

Cherchons, par exemple, les nombres décomposables en la différence entre un carré et le double d'un carré,

(no) j:* — a^'= m.

Examinons d'abord les nombres m impairs, et ne cherchons que les valeurs de x et de y^ premières entre elles. Pour que l'équation (i lo) soit possible, il faut que 2 soit reste quadratique de tous les facteurs premiers de m. Il faut donc que ces facteurs premiers soient tous de l'une des formes 8 A -H 1 ou 8 A — 1 .

Réciproquement, si cette condition est satisfaite, on voit, comme dans les questions précédentes, quelenombremestreprésenlable proprement par une forme de discriminant — 2 et par toutes les formes de même classe. Mais nous avons vu (n°350) qu'il n'y a qu'une classe de ces formes. Donc le nombre m est représentable par la forme x^ — 2^^. Mais, d'après ce qu'on a vu, il y a une infinité de valeurs de ^ et y répondant à la question.

Exemple :