SUITES DE BROCOT ET DE PAR ET

418. Entre deux fractions consécutives — * —7 existe la relation

m'p — mp' = I .

En effet, c'est vrai par hypothèse pour les deux fractions de la première

suite: démontrons que si c'est vrai pour les fractions — et —7 ce sera

encore vrai pour les deux fractions — et — r* ainsi que pour les

iractions , et — r •

P-^P P Or

(m -H m')p — {p '\-p')m = m! p — pm' = i et

m'(p -^p')-r'p'{m-\' m') = m'p — pm'=zi.

Le théorème est donc démontré.

4" Toute fraction d'une des suites est irréductible. En effet, Tégalité m' p — mp' =^ i montre que m et p sont premiers entre eux.

419. Suites de Brocot, — Les suites de Brocot s^obtiennent en partant des

deux fractions - et - et intercalant des médiantes dans tous les intervalles I I

qui se présentent. On obtient ainsi les suites suivantes :

Tes

420. Suites de Farey. — Les suites de Farey s'obtiennent en partant dos deux mêmes fractions - et ~> mais en n'intercalant de médiantes qu'entre les fractions dont la somme des dénominateurs est égale au rang de

la suite que Von forme. On obtient ainsi o

^ ^ Il 11 \ 'il l il 1 l ^ i '^ ^ T76547357275374567

Par exemple, pour passer de la sixième suite à la septième, on n'a intercalé des médiantes que dans les intervalles