II 21 I 3 2 3 5 I

421. D'après la façon dont les suites de Farey ont été formées, ii n'y a dans la /i'"°* suite que des fractions irréductibles plus petites que 1 et dont le dénominateur ne dépasse pas n\ je dis de plus qu^elles y sont toutes.

En effet, supposons que ce soit vrai pour la (/i— i )'**** suite.

Soit alors — une fraction irréductible plus petite que i, je dis qu'elle

est dans la /i''"* suite. En effet, - n'étant pas dans la (w— i)'"^ suite est

, , .m ni'

comprise entre deux termes de cette suite -- et —,

On na pas p -h p <. n, car sinon la fraction r» mediantc de —

m •!•,»/ M^ . « ni m'

et —7 appartiendrait a la (/i — !)'*'"• suite, de sorte que — et —r ne seraient

pas deux fractions consécutives de cette suite. Posons

cp — mn = a, m'n —p'c = p ;

X et p sont des entiers positifs.