OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES FRACTIONNAIRES

cette dernière fraction par g on retrouve j^-j o^j ^^ simplifiant, ^ .

54. Remarque. — Cette règle s'applique aux nombres entiers, qui sont des cas particuliers des fractions. Le quotient de a par 6,

c'esl-à-dire de - par -» est donc égal à -g»

Donc, par V introduction des nombres fractionnaires dans le calcul, la division exacte d*un nombre entier a par un nombre entier b est une opération toujours possible, le quotient étant

égal à y

55. Élévation aux puissances, — L'élévation aux puissances n'est qu'un cas particulier de la multiplication,

56. Extraction des racines. — La racine m'^"^ d'une fraction est une autre fraction qui, élevée à la puissance m'^"'^, reproduit la première.

La fraction donnée peut être supposée réduite à sa plus simple expression.

Si, alors, elle a ses deux termes m}^^*^* puissances parfaites, on obtient évidemment sa racine /n*^"* en extrayant les racines m'^"*" de ses deux termes.

Si, au contraire, la fraction réduite à sa plus simple expression n'a pas ses deux termes puissances m'^*"" parfaites, elle n'a pas de racine m'^°®.

En effet, quand une fraction irréductible -r a une racine m*^"*,

on peut supposer cette dernière réduite à sa plus simple exprès-

sion, soit ^ ; et 1 on a

Mais c eid étant premiers entre eux, c'" et d^ le sont aussi (n° 42). L^onc -j- est une fraction irréductible. Les deux fractions irré-

2^ CHAP. I. — RAPPEL DES THÉORIES LES PLUS ÉLÉMfcNTAIRES.

ductibles t et ^ étant égales sont identiques. Donc

Donc a et b sont des puissances m'^°*" parfaites.

57. En particulier, un nombre entier a, est une fraction irréductible dont le dénominateur i est une puissance m'^"® parfaite.

Donc un nombre entier qui n'est pas la puissance m'^'^^d'un nombre entier n^est pas non plus la puissance m'^'^^ d'une fraction,

58. Fractions décimales. — On appelle fraction décimale une fraction dont le dénominateur est une puissance de lo.

• L'importance pratique de ces fractions résulte de ce qu'on peut les former et les écrire d'une façon analogue à celle dont sont formés et écrits les nombres entiers. On peut en effet décomposer une fraction décimale en un nombre entier, et en la somme de fractions décimales ayant pour dénominateurs les puissances successives de lo et pour numérateurs des nombres plus petits que lo.

Exemple :

32 587 32000 5oo 8o 7^58 7

1000 1000 1000 1000 1000 lo 100 1000

D'où il s'ensuit une écriture analogue à celle des nombres entiers, la fraction précédente, par exemple, s'écrivant

Il en résulte pour les opérations sur les fractions décimales, des règles analogues à celles des opérations sur les nombres entiers, et sur lesquelles nous n'insisterons pas.

59. On remarquera à ce propos que la somme, la différence, le produit de fractions décimales sont des fractions décimales, mais qu'il n'en est pas de même, en général, du quotient de deux telles fractions.