OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES FRACTIONNAIRES
En effet, le quotient des deux fractions ^ et -^ — ^> par
' * lOOOO lOOOOO ^
exemple^ est
327 X looooo 3270
— t ou — — •
9134 X loooo 9134
Il se présente sous forme de fraction ordinaire. Or une fraction ordinaire n'est pas, en général, réductible à une fraction décimale, car :
60. La condition nécessaire et suffisante pour qu^urie fraction ordinaire soit réductible en décimales est que, cette fraction étant réduite à sa plus simple expression^ son dénominateur ne contienne que les facteurs premiers 2 ou 5,
Car si T = — ' r étant irréductible, lo^* est un multiple de b. loP h ' *
Donc b ne contient que les facteurs premiers 2 ou 5.
Réciproquement^ soit une fraction —^^'
Si a = p, cette fraction est décimale.
Si a et ^ sont différents, supposons a -< P pour fixer les idées :
îfc«5P "" 2P5P ~" loP
61. Évaluation d'un nombre fractionnaire à une certaine approximation. — Ainsi une fraction n'est pas en général réductible en décimales.
Mais il existe en tout cas des nombres décimaux qui sont dans une relation simple avec cette fraction. Nous voulons parler de ses valeurs approchées décimales.
On appelle valeur approchée d'un nombre fractionnaire à une unité, un dixième, un centième, etc., près, le plus grand nombre d'unités, de dixièmes, de centièmes, etc, contenus dans ce nombre.
62. Règle. — Pour obtenir la valeur approchée d'un nombre fractionnaire, à une unité, un dixième, un centième, etc., près, on multiplie son numérateur par 1,10, 100, etc., on cherche le quotient à une unité près du produit obtenu par le dénomi-
a6 CHAP. I. — RAPPEL DES THÉORIES LES PLUS ÉLÉMENTAIRES.
nateur de la fraction^ enfin on divise ce quotient par \, lo, loo, etc.
En effet, soit la fraction — à évaluer à — près. On a
' 7 loo ^
aaoo = 7 X 3i4-h i, d'où
iiL 3i4 1
7 loo 7 X loo
Or 2 est plus petit que 7.
Donc - est plus petit que 1, et par suite est plus petit
que — • ^ 100
Donc — est la valeur approchée de — à — près. 100 ^*^ 7 100 *^
Définition. — On dit qu'un nombre variable a tend vers une limite fixe A, lorsque la différence entre a et A peut devenir et rester plus petite que n'importe quel nombre donné fixe.
Remarque. — Si Ton considère les valeurs approchées d'un nombre à une unité, un dixième, un centième, etc., près, ces valeurs diffèrent de moins en moins de ce nombre. On voit qu'elles tendent vers ce nombre. Leurs numérateurs successifs obéissent d'ailleurs à une loi simple^ dont nous parlerons plus tard.
Valeur approchée par excès. — Les valeurs approchées que nous venons de définir sont des valeurs par défaut. On appelle valeur approchée à une unité, un dixième, un centième, etc., près par excès, la valeur précédente augmentée de une unité ou un dixième, ou un centième, etc. Ces valeurs par excès sont plus grandes que le nombre fractionnaire; elles tendent également vers ce nombre.
63. Valeur approchée à — près. — Voici une généralisation immédiate des notions précédentes : On appelle valeur approchée par défaut à - près d'un nombre le plus grand multiple de - contenu dans ce nombre.
Il est facile de voir que pour obtenir la valeur par défaut d'un nombre à— près, il suffit de multiplier ce nombre par ^,y
