SUR LE CALCUL DES RACINES PRIMITITES DES NOMRRES PREMIERS

Multiplions les égalités (2) respectivement par p' et p et ajoutons. Il

vient

n ( m'p — mp' ) = a/?' -h p/>, ou

Or comme/>-h/>'^/t, il résulte évidemment de là que

et

Reste à montrer que c = m-h m'^ alors il sera prouvé que — est la mé-

diante des fractions — et — r, donc elle sera dans la n'^"* suite. Pour cela

P P nous retranchons les égalités (2) membre à membre, il vient

Or

p-^p'=^n, donc

Corollaire. — Si l'on rangée par ordre de grandeur toutes les fractions irréductibles comprises entre o et j, chacune de ces fractions' est la médiunte des deux qui la comprennent ( • ).

SUR LE CALCUL DBS RACINES PRIMITIVES DBS NOMRRES PREMIERS.

422. Nous avons vu (n*** 159 et suivants) que la recherche d'une racine primitive d'un nombre premier est en général pénible. Voici quelque«i théorèmes qui permettent, dans certains cas, de prévoir une racine primitive.

Théorème. — Tout nombre premier de la forme 2'"-+-i admet comme racine primitive le nombre 3 (*).

En effet, toute racine primitive d'un nombre premier impair est un nonreste quadratique de ce nombre.

(') Farby, Bulletin de la Société philomathique; 1816.

Halphen, Sur des suites de fractions analogues à la suite de Farey {Bulletin de la Société mathématique, t. V, p. 170; 1877).

(^) Quant aux nombres de la forme a'^+'-hi, ils ne sont pas premiers, étant divisibles par 3.

La réciproque n'est pas vraie en général, mais elle Test lorsque le nombre premier est de la forme p = a*"-!-!. En effet, Texposant auquel un nombre a appa rtient par rapport à /?, est un diviseur àt p — i = a*". Si donc a n'est pas racine primitive, c'est-à-dire si son exposant n'est pas

égal à a*'*, il est un diviseur de a*"-', c'est-à-dire de ^ •

On a donc

a * s I {moàp).

Donc a est un reste quadratique.

Ainsi, tout nombre qui n'est pas racine primitive est un reste. 11 en résulte que, inversement, tout non-reste est une racine primitive. Ceci posé, pour démontrer le théorème, il faut donc démontrer que

Mais a*«H-i étant de la forme 4Ah- i, on a

D'ailleurs

a*'*-!-!^ 2(mod3).

Donc

(!e qui démontre le théorème.

Exemple. — Depuis i jusqu'à 200 on rencontre comme nombres premier* de la forme précédente les nombres a'-^ 1 = 5 et a^-h i = 17. Ils admettent 3 comme racine primitive.

423. Théorèiie. — Soit p un nombre premier impair, tel que ip + \ soit aussi un nombre premier. Si p est de la forme 4 A -+- 1, le nombre xp -h I admet 1 comme racine primitive. Si p est de la forme 4^ — '1 le nombre 2/>-f-i admet ( — 2) ou, ce qui revient au même, ao — 1 comme racine primitive.

En effet, par rapport au nombre premier 2/? -h 1, tout nombre ne peut appartenir qu'à un exposant diviseur de a/>; c'est-à-dire ( puisque /? est premier) à Tun des quatre exposants

I, 2, /?, -ip.

Le seul nombre appartenant à l'exposant 1 est 1.

Le seul nombre appartenant à l'exposant 2 est — i.

Donc, pour démontrer qu'un nombre différent de i et de — 1 est racine primitive de 2/? -M, il suffit de démontrer qu'il n'appartient pas à l'exposant/?; autrement dit, qu'il est non-resie du nombre a/? -h 1.