SUR LE CALCUL DBS RACINES PRIMITIYES DES NOMBRES PREMIERS

Ceci posé, soit d'abord

Alors

Or on sait que le nombre 7. n*est pas reste quadratique des nombres de la forme 8^ -+- 3. Donc 1 est racine primili\e. Soit, au contraire,

Alors

Or on sait que le nombre — 2 n'est pas reste quadratique des nombres de la forme 8A — i. Donc ce nombre ( — 2) ou le nombre ip — 1 [qui lui est congru mod(2/>-hi)j est racine primitive.

Exemple, — Depuis i jusqu'à 200 on rencontre, comme nombres premiers de la forme ip -+- 1, tels que p soit premier de la forme 4 A -h i, les nombres

Ils admettent 2 comme racine primitive. Gomme nombres premiers de la forme 2/) -+- i , tels que p soit premier de la forme ^h — 1 , on rencontre les nombres

qui admettent — 2 comme racine primitive.

424. Théorème. — Soit p un nombre premier impair j tel que 4/>-i-i soit aussi un nombre premier. Le nombre ^p -+- i admet comme racine primitive le nombre 2.

En effet, par rapport au nombre premier 4/> -+- 1 , tout nombre appartient à un exposant diviseur de 4/>> c'est-à-dire à l'un des six exposants

Or le nombre 2 n'appartient ni à l'exposant i, ni à l'exposant 2. Il n'appartient pas non plus à l'exposant 4* ^n effet

Donc 2 ne peut appartenir à l'exposant 4» si 4/> H- i > i5. D'ailleurs le seul nombre premier de la forme en question, pour lequel cette condition ne soit pas réalisée est !3, et pour ce nombre le théorème se vérifie directement.

Restent les exposants

On voit donc que si 2 n'était pas racine primitive, il appartiendrait à l'exposant /> ou à l'exposant '2/>.Dans les deux cas on aurait

2^P^i (mod 4/? -h 1),

c'est-à-dire que 2 serait reste quadratique de 4/> •+■ i«

Mais c'est impossible. En effet, p étant un nombre premier impair est de la forme ih-\-i. Donc

Or on sait que a n'est pas reste quadratique des nombres de cette forme.

Exemple, — De i à 200, on rencontre, comme nombres premiers de la forme /ip-hi, tels que p soit premier impair, les nombres

Ces nombres admettent 2 comme racine primitive.

4i5. Théorème. — Soit p un nombre premier, tel que

soit aussi un nombre premier. Si, de plus, la condition

est satisfaite, le nombre 2'"-»-*/? -+- 1 admet 3 comme racine primitive.

En effet, par rapport au nombre premier i"*-^^p -h i, tout nombre appartient à un exposant diviseur de 2'"-^*/?, c'est-à-dire à l'un des exposants

1, 2, 2*, ..., 2'"-*-S 2'"-^', /?, 2/>, 2*/?, ..., 2'«-«-*/?, if^-^^p.

Le nombre 3 ne pourrait appartenir à l'un des exposants

que si l'on avait

(1) 3i2--^«),^o [mod(2'«-^V-^0] ou

(2) ( i'*'"^')- ,)(3<2'"^Mh- ,) = o [mod (2'«-^V -+- I)). Or l'on n'a certainement pas

3<2'«-.» I ^ o [mod (2'«-^«/? -+- i)], car cette congruence entraînerait

3 u(--Vj r = o [mod(2'"^->/> -i- O], ce qui voudrait dire que 3 serait reste quadratique du nombre 2'»^-*/>-+-i.

SUR LE CALCUL DBS RACUfCS PRIMITIVES DBS NOMBRES PREMIERS. 339

Or ceci est impossible, car le nombre 2'»»-^'*/) -h i n'est certainement pas

de Tune des formes lîAdbi. 1 II ne pourrait y avoir exception que pour

/> = 3, mais la condition p > ^^^^ ( 'w ^ i) entraine a fortiori p > 3 1. La congruence (a) entraînerait donc

3,2m+.,^ , ^ o [ mod( 2'«-^«/? -+- 1)], ou

h étant un certain nombre entier.

Dans cette égalité h ne peut être nul; il ne peut non plus être égal à i puisque alors on aurait

ce qui est manifestement impossible, l'un des nombres étant pair et l'autre impair.

Donc h'^1. Donc l'égalité (3) donnerait

d'où

Or ceci est contraire à l'hypothèse.

Il en résulte que la congruence (i) est impossible; et, par suite, que le nombre 3 ne peut appartenir qu'à l'un des exposants

p^ 2p, 2*/?, ..., 2"*-^^py 2'«-»-«/).

Il en résulte que si 3 n'était pas racine primitive, il appartiendrait à l'un des exposants

Dans tous les cas, on aurait

3(2'^-^«/»= I [mod {i^-^ip -+- i)]

c'est-à-dire que 3 serait reste quadratique de (2'"-*-*/? -i-i).

Mais nous avons déjà vu plus haut que c'est impossible. Le théorème est donc démontré (*).

( ') L'énoncé de ce théorème se trouve dans la Théorie des congruences {Éléments de la théorie des nombres) de TchebyscheiT, avec cette différence, qu'au

lieu de la condition /? > — -;^^ — > il y a la condition, évidemment moins avantageuse,/?>^;;j:^.

34o NOTE F.

Exemple. — Faisons m = i. De i à 200 on rencontre comme nombres premiers de la forme 8/>+ i, tels que p soit premier impair et satisfasse

à la condition p > — 7— ou /> > 5, les nombres 89 et 137. Ces nombres

admettent 3 comme racine primitive.

SUR LÀ FRACTION APPROCHANT LE PLUS D'UN NOMRRE a ET DONT LE DÉNOMINATEUR EST Pt-US PETIT QU'UN ENTIER m.

426. A la théorie des fractions continues se rattache la question intéressante suivante :

Parmi toutes les fractions dont le dénominateur est plus petit qu'un entier donné m, trouver celle qui approche le plus par défaut d'un nombre donné a. De même trouver celle qui approche le plus par excès.

Considérons les valeurs approchées par défaut du nombre a à ->-»-» ••• près; elles forment une suite

Dans cette suite, barrons tout terme qui n'est pas plus g^rand que tous les précédents. Nous obtenons une nouvelle suite que nous appellerons suite (A).

Il est bien évident que pour trouver, parmi toutes les fractions dont le dénominateur est plus petit que m celle qui approche le plus par défaut de a, il suffit de prendre, dans la suite (A), la fraction qui a pour dénominateur le nombre le plus voisin de m et inférieur à ce nombre.

Si, au lieu des valeurs par défaut, on prenait les valeurs par excès de d, et que /'on barrât tout terme qui n'est pas plus petit que tous les précédents, on formerait de même une suite (B). Pour trouver, parmi toutes les fractions dont le dénominateur est plus petit que m, celle qui approche le plus, par excès, de a, il suffit de prendre, dans la suite (6), la fraction qui a pour dénominateur le nombre le plus voisin de /net inférieur à ce nombre.

Il est bien évident qu'il n'y a qu'une suite jouissant de cette propriété de la suite (A) et qu'une suite jouissant de cette propriété de la suite (B).

Exemple. — Pour le nombre e on trouvera facilement les suites

3 II 3o ^ 49 68 I 4 <t '8 U.J

tio

SUR LA FRACTION APPROCHANT LE PLUS d'cN NOMBRE a. 34 1

427. Remarquons que, si nous réduisons a en fraction continue, Us réduites de rang impair sont nécessairement contenues dans la suite (A), et les réduites de rang pair dans la suite (B), d'après les propriétés de ces réduites démontrées au n" 96.

Nous allons montrer comment de ces réduites on peut déduire tous les termes de la suite (A) et tous ceux de la suite (B).

Soient deux réduites consécutives de rang impair, par exemple,

P^ et ^^-

Qa-hi On a

QifcH-t Qa:-i -I- «A-l-t Qk Considérons Texpression

Pour /n =0, cette expression donne la réduite ^ ~' »

P* Pour m = ajt-Hi, elle donne la réduite -rr-»

Pour les valeurs 1,2,..., a^t+t — idem, on obtient donc a/^+i — i fractions intermédiaires entre . .^"^ et ^ "*"* »

428. Je dis que la suite (k') formée par les réduites de rangs impairs et les fractions intermédiaires n*est autre que la suite (A).

En effet, d'après la façon dont elle a été formée, la suite (A') se compose de fractions croissantes, à dénominateurs croissants et tendant vers a.

Considérons deux fractions consécutives de la suite (A'), soient — et ^ •

Je dis qu'on a

En effet, — est de la forme

et —, de la forme

Donc

Qk-i-^ mQk^ P^i^(m-hi)Pk

p'q — q'p =[Pk- i-^{m -^ i)Pk][(ik-i-^ rnQk]

-[P;t-i-^'nP^][QA-,-h(/n4-i)QA] = P*Qit-i — QaP*-i=i.

Ceci posé, je dis que la suite (A') jouit de la propriété caractéristique de la suite (A), ce qui prouvera qu'elle lui est identique.

344 NOTB G.

Nous allons supposer que la forme réduite (A, B, C) soit une forme primitive, c'est-à-dire que les trois coefficients A, B, C n'ont pas de diviseurs communs ( n° 275).

Nous allons d'abord montrer qu'il n'y a que deux substitutions qui transforment (A, B, C) en elle-même, excepté :

1° Si A = 2, B = 1, C = 2, auquel cas il y a six de ces substitutions;

2? Si A = I , B = o, C = I , auquel cas il y en a quatre.

En effet :

1° On sait (n^318) que, pour qu'il y ait six des substitutions en question, il faut que

Puisque A, B, G n'ont pas de diviseur commun, le plus grand commun diviseur 9 de A, 2 B et G ne peut être que i ou 2. Dans le cas qui nous occupe, il doit être pair d'après l'égalité (1); il est donc égal à 2, et l'on a

4D = i2 ou

Or, il n'y a (n^ 323) que deux formes réduites de discriminant égal à 3, à savoir les formes (1,0, 3) et (a, i, 2). Mais, pour la première, ff = i. Donc la seconde seule répond à la question.

2** Pour qu'il y ait quatre des substitutions en question, il faut que

Si <J = I, on a

Or il n'y a qu'une forme réduite de discriminant égala i, à savoir (1,0, 1). Elle répond à la question.

Si a = 2, D = 4. Or il n'y a que deux formes réduites de discriminant égal à 4, à savoir (2,0, 2)et(i, o, 4)- Mais la première n'est pas primitive, et pour la seconde 9=1.

432. A partir de maintenant, nous supposerons que (A, B, G) est une forme réduite, primitive, différente de (1,0, i) ou de (2, 1,2).

Dans ces conditions, soit (a, 6, c) une forme de même classe que (A,B,G), il n'y a que deux substitutions modulaires qui transforment (a, 6,c)en (A,B,G).

Soit R l'une de ces substitutions, l'autre est RI (n* 318).

Soit alors R une substitution modulaire quelconque. Si l'on applique à (A, B, G) la substitution R-*, on trouve une forme (a, 6, c). Inversement, la substitution R transforme (a,b,c) en (A, B, G). Il en est de même de la substitution RI ; mais il n'y a pas d'autre substitution modulaire que ces deux-là qui transforment (a, b, c) en (A, B, G).

SUR LES FOIfCTIONS NUMÉRIQUES. 3^5

D'autre part, on peut passer de (a, 6, c) à (A, B, G) par une suite de substitutions S et T (n"' 309 et 310).

On en déduit donc que toute substitution du groupe modulaire à deux variables est identique à un produit de substitutions S et 1 ou à ce produit multiplié par I.

433. Si l'on considère le groupe modulaire à une variable (n^ 35!7), comme, dans ce groupe, les deux substitutions R et RI sont identiques, on peut dire que toute substitution du groupe modulaire à une variable est identique à un produit de substitutions S etT (i).

434. Nous appclerons/o/ic/«on numérique, une fonction qui n'est définie que pour les valeurs entières de la variable, et qui n'a elle-même que des valeurs entières.

Autrement dit, un nombre entier N est une fonction du nombre entier n, lorsqu'à chaque valeur de n correspond une valeur de N.

Exemple. — La somme des diviseurs du nombre /i, l'indicateur du nombre n, etc., sont des fonctions numériques.

435. Intégrale et dérivée suivant tous les nombres. — Soit une fonction numérique /(/i). La fonction

sera dite intégrale numérique de fin) suivant tous les nombres.

Inversement f{n) sera dite la dérivée numérique de F(n) suivant tous les nombres.

Exemples. — Si la fonction /(n) est égale à n, la fonction F(n) est

égale à "(^-^'>.

Si la fonction /(/i) est égale à /ip, la fonction F(/i) est égale à un certain polynôme en n de degré /> -H i, et qu'on appelle />*^"« polynôme de Bernoulli.

(*) Pour l'étude du groupe modulaire, voir Vorlesungen ueber Théorie der elliptischen Modulfunctionen (Klein). En particulier, le Chapitre III de la se> conde Partie de cet Ouvrage est consacré à la relation entre le groupe modulaire et la réduction des formes quadratiques et à la représentation géométrique de cette réduction.

436. II est évident que l'intégrale, suivant tous les nombres, d'une fonction déterminée, est déterminée par la formule (i).

Inversement la dérivée, suivant tous les nombres, d'une fonction déterminée, est déterminée par la formule

Nous désignerons l'intégrale suivant tous les nombres de la fonciion f{n) par la notation

Inversement, nous poserons

437. Intégrale et dérivée suivant les diviseurs, — Nous appellerons, d'après Tchebyscheff, intégrale suivant les diviseurs d'une îonciion f{n), la fonction 4>(n) définie par l'équation

if d^ d\ . . .^ n étant tous les diviseurs de n. Inversement, /(n) sera dite la dérivée de 4>(/i) suivant les diviseurs.

Exemples, — Si/(/i) est l'indicateur de n, 4>(n) est égale à n, Si/(/i) est l'indicateur du/?'*^"' ordre de n, 4>(n) est égale à nP.

438. L'intégrale, suivant les diviseurs, d'une fonction déterminée /(n) est déterminée par la formule (2).

Inversement, la dérivée suivant les diviseurs d'une fonction déterminée 4>(n) est déterminée. En effet, écrivons les n premières équations (2).

\ 4.(n)=:/(i)+/(rf)+/(rf')-t-... + /(/i).

Nous ea tirons

(4) ./(3) = *(3)-X(Or'^

Nous désignerons l'intégrale suivant les diviseurs de la fonction f{n) par la notation

d Inversement, nous poserons

^9. La fonction fx(n). — Soit f{n) une fonction égale à un pour n = i, et à zéro pour toute autre valeur de n. Nous désignerons par fx(n) la dérivée, suivant les diviseurs de cette fonction f(n).

Autrement dit, on a les égalités :

Les formules (4) donnent alors

Ft(0 = I,

fx(2)=— I,

Hl(6) = + i.