Je dis que, en général
|i(n) = o quand n contient des facteurs premiers multiples. jji(n)=-f-i quand n ne contient que des facteurs premiers simples et
en nombre pair.
jji(n) = — I quand n ne contient que des facteurs premiers simples et
en nombre impair.
Pour le démontrer, je remarque que la fonction |i.(/i) étant complètement définie par les équations (5) et (6), il suffît de montrer que les valeurs qu'on vient de dire pour fJL(n) satisfont à ces équations.
La chose est évidente pour /i = i, et, par conséquent, pour Téquation (5).
Soit maintenant n ^ i. Soit
la décomposition de n en facteurs premiers. Soit r le nombre de ces facteurs a^b^, . .y l. Les diviseurs de n qui contiennent des facteurs premiers
multiples, donnant par hypothèse des valeurs nulles pour la fonction \i, n'interviendront pas dans la vériGcation de la formule (6).
Les diviseurs de n qui ne contiennent que des facteurs premiers simples sont
i; a, ^, c,..., A-, /; ab, ac,...j kl] abc^abdj...^hkl\ ...; abc.hkl.
Il y en a i égal à l'unité,
» - contenant i facteur premier,
» — ^ contenant 2 facteurs premiers,
contenant 3 facteurs premiers,
ri r(r — i)(r— 2).. .1 « .
Il y en a — ^^ — contenant r facteurs premiers.
La somme des fx de ces diviseurs est donc égale, d'après les hypothèses faites sur la valeur de la fonction (i, à
Or on sait que cette somme est nulle. La formule (6) est donc vérifiée. 441. Application aux formules (4). — Je dis que ces formules s'écrivcnl
/(3) = fx(Y)*(i)-H|^(|)*(3),
Pour le démontrer, je suppose que dans les formules (3) on considère celles de rangs i, c?, c?', . . ., n, qu'on les multiplie respectivement par
P-l")» ^[7f)' ' " ' ^\~) ^^ qu'on les ajoute, il est facile de voir que
le coefficient de f{d) dans le second membre est
5 désignant les diviseurs de -i»
Or, cette somme peut s'écrire
Elle est donc nulle pour d ^ n cx. égale à i pour d = n. Donc on obtient bien ainsi la formule
442. Autre forme de cette formule. — Cette formule peut s'écrire sous une autre forme due à Liouville.
Soit n = a«6P... A.
Dans la formule (7) il n'y a besoin d'écrire dans le second membre que
les termes relatifs à des diviseurs de n, tels que -i ne contienne pas de facteurs multiples. Ces diviseurs sont
n n n n n n n ri
\ a l au ac kl abc... kl
et la formule (7) devient, en remplaçant les coefficients k( j) par leurs valeurs,
c'est-à-dire encore
(8) f{n) = ^^>{d)-^^nd'),
en posant
Telle est la formule de Liouville.
35o NOTE H.
443. Comme application, si la fonction /(n) est Tindicateur <p(/*), on sait que l'intégrale *(/i) est égale à n. La formule (8) donne donc alors
c'est-à-dire
On retrouve ainsi la formule du n*' 71.
444. Relations avec la théorie des fonctions analytiques, — Considérons une fonction analytique développée en série de Taylor. Dans ce développement le coefficient de a?" est une fonction numérique de n.
Inversement, soit/(/i) une fonction numérique de n. Le développement
(9) G(x) = ^/(n)xn
rt = l
définit une certaine fonction analytique de x (pour les valeurs de x pour lesquelles cetle série est convergente).
La connaissance de la fonction analytique G(x) entraîne celle de la fonction numérique /(/i) et réciproquement. Les connaissances des deux fonctions sont donc équivalentes.
Ceci peut être considéré comme une généralisation des idées de Kronecker relatives au\ polynômes {voir n* 248).
Il faut remarquer que la fonction /(/i) peut être telle que la série (9) ne soit convergente pour aucune valeur de x. On conçoit cependant qu*on puisse continuer à regarder la série comme un symbole représentant la fonction numérique. C'est une façon d'envisager l'introduction dans le calcul de séries divergentes.
Le développement de Taylor peut d'ailleurs être remplacé par un autre,
par exemple par un développement de la forme ^,- — —9 tel que ceu\. qu'on a considérés aux n*** 398 et suivants.
445. A ce point de vue, les procédés d'intégration et de dérivation suivant tous les nombres ou suivant tous les diviseurs sont caractérisés par les formules suivantes. Soit y(n) une fonction numérique, F(n) son intégrale suivant tous les nombres, ^(n) son intégrale suivant tous les diviseurs. On a les formules
/I = ao rt=roo /l=90
^f(n)x^^X^x^ = ^ F{n)xn,
et
fin) ^ Y L = Y »(^)
I fin)
et
Ç(«) étant la fonction de Riemann, dont on a parlé au n^ 399.
Ces formules se démontrent en effectuant le produit indiqué au premier membre, et constatant que tous les termes de ce produit se retrouvent au second membre.
Exemple. — La formule (11), en supposant /(n) égale à l'indicateur ç(n) donne
d*où
n^ r,is)
rt — 1
Plus généralement) en supposant/(n) égale à Tindicatcur du p^^'"^* ordre fp(n)y on trouve :
Zà n^ ' C(5)
On obtient de la même façon la formule d'où
n' tis)
416. Nous terminerons cette Note par la démonstration de la formule
curieuse due à Smith
(/>, g) désignant le plus grand commun diviseur de p et q, et <p(A) l'indicateur de n.
Cette formule n'est qu'un cas particulier de la suivante :
(la)
4>(n) étant l'intégrale suivant les diviseurs de/(/i).
Pour démontrer cette formule, soient i, dj ..., n les diviseurs de n. Remplaçons les éléments de la dernière colonne du déterminant par la somme obtenue en multipliant les éléments de la première colonne par
, ceux de la cT^"' par jjl
• 9 ceux de la n''"* par
7 et
ajoutant, tous les produits relatifs aux éléments d'une même ligne. Cette transformation ne change pas la valeur du déterminant, puisque le
coefficient (^( — ) des éléments de la dernière colonne du déterminant est
égal à I.
Mais alors l'élément de la/>'''°*' ligne de la dernière colonne devient
(i3) i^(^j)n(P' ')] + i^(J)*[(/',rf)]+-.+ H'(^)*[(^,«)i-
Remplaçons dans cette somme ^[(p,d)] par\]/(ô); le signe^ s'éten-
dant à tous les diviseurs 8 de (/>, d). Remarquons que ces nombres o sont diviseurs de (/?, n). Nous obtenons ainsi une nouvelle somme.
Dans cette somme, réunissons les termes en /(8), 8 étant un certaio diviseur de (/?, n). Or pour que 8 soit un diviseur de (/), d) comme 8 est par hypothèse diviseur de p, il suffit qu'il le soit de d. Les nombres d tels que 6 soit diviseur de (/?, d) sont donc les diviseurs de n qui sont multiples de 8. Ce sont donc les nombres de la forme
rf = 8 X 8',
8' étant un diviseur de v*
Alors, si dans l'expression (i3) on réunit les termes en/(8), le coeffi-
cient est
le signe ^ s^étendant à tous les diviseurs S' de t-« Or cette somme est nulle, à moins que
Il ne peut donc rester qu'un terme dans la somme, le terme /(n).
Mais Ce terme n'existe que si l'un des nombres (/>, n) est égal à n, c'est-à-dire que si /? = n.
En résumé, la somme (i3) est nulle pour/? < n, et elle est égale à/(/i) pour/> = n.
Il résulte de là que le déterminant (12) devient par la transformation indiquée, égal à
<I>[(/i, I) <i>[(/i,2)] ... <P[(n,n^i)] /(n) Si donc on appelle D^ le déterminant en question, on a
d'où, de proche en prochç,
447. Il existe un grand nombre d'autres formules, plus ou moins curieuses, sur les fonctions numériques. En voici par exemple une dont le lecteur trouvera facilement la démonstration :
Soit /{n) une fonction numérique, g{n) sa dérivée suivant tous les nombres, et h(n) la dérivée de g{n) par rapport aux diviseurs. On a
Exemple, — Si h{n) est l'indicateur, on a
AiS. On sait le rôle que jouent en Algèbre les nombres imaginaires, c'est-à-dire les nombres de la forme a ■+- 6< (l'étant l'une des racines imaginaires de l'équation jr»-hi = o). On conçoit donc comment on a été amené (*) à considérer dans la théorie des nombres les entiers imaginaireSf c'est-à-dire les nombres de la forme a -h 6i, a et 6 étant entiers, positifs ou négatifs.
