Problème. — Former tous les diviseurs d'un nombre

Soit le nombre n décomposé en facteurs premiers

/i = a*6PcT. . .A.

CoDsidérons le tableau suivant :

I 6 6* ... èP (1) { i c c« cY

Multiplions chacun des nombres de la première ligne par chacun des nombres de la seconde ligne; multiplions chacun des résultats obtenus par chacun des nombres de la troisième ligne, et ainsi de suite. Finalement, nous obtenons un certain nombre de produits. Ces produits sont les diviseurs demandés.

En effet :

I** Tous ces produits sont diviseurs de n\ car, d'après la façon dont ils ont été formés, ils ne contiennent que les facteurs premiers a, i, . . ., /, et avec des exposants au plus égaux à ceux qu'ils ont dans le nombre n\

2° Tous les diviseurs de n sont obtenus ainsi. En effet, soit

le diviseur

aa'cY'...A' (a'<a, p'fP, ..., Vi:X).

On Ta formé, car on a pris tous les nombres de la première ligne du tableau (i), en particulier a*'. Ce nombre a*' a été

3o GHAP. II. — COMPLÉMENTS AUX THÉORIES ÉLÉMENTAIRES.

multiplié par tous les nombres de la seconde ligne, en particulier par I, ce qui a donné comme produit a*'. Ce produit a*' a été multiplié par tous les nombres de la troisième ligne, en particulier par cY', ce qui a donné comme produit a"'cT', et ainsi de suite. En définitive, le diviseur a*'cY'. . . /^' a été formé ;

3° Deux des diviseurs obtenus sont différents, car ils diffèrent au moins par le facteur choisi dans une ligne du tableau (i). Or deux produits de facteurs premiers ne peuvent être égaux que s'ils sont identiques.

En résumé, on a bien formé tous les diviseurs du nombre /?, chacun d'eux une fois seulement.

66. Nombre des diviseurs d'un nombre. — Dans la première ligne du tableau (i) il y a (a-j-i) nombres. Chacun de ces nombres, multiplié par les (P -h i) nombres de la seconde ligne, donne (^4- i) produits; en tout (a -|- i)((î -f- 1) produits. Chacun d'eux, multiplié par les (y-H i) nombres de la troisième ligne, donne (Y + i) produits; en tout (a-H i)(P 4- i)(y -i- i) produits, etc. En tout il y a donc

(a-Hi)(PH-i)...(X-hi)

diviseurs du nombre n.

67. Somme des diviseurs d^un nombre* — Additionnons les nombres contenus dans chacune des lignes du tableau (i). Nous obtenons les sommes

Ensuite, faisons le produit de ces sommes. Pour cela, il faut multiplier chaque terme de la première par chaque terme de la seconde, puis chacun des résultats obtenus par chacun des termes de la troisième ligne, et ainsi de suite. On voit donc que les termes du produit obtenu sont justement les diviseurs de /i. La somme cherchée est donc égale à ce produit, c'est-à-dire à

C'est-à-dire à

FONCTIONS SYMÉTRIQUES DBS DIVISEURS d'uN NOMRRE. 3i

68. Somme des puissances p^^"^^' des diviseurs d^ un nombre ; fonctions symétriques des diviseurs d*un nombre. — La somme des puissances p^^^*"* des diviseurs du nombre n est évidemment égale à

(iP-f-aP + a»/'-h...-+-a«/')(i/'-+-6/'-hà»/'-+-...-i-^P/')...(i-h//'-f-...-+-Ap)^ c'est-à-dire à ,

Sachant calculer les sommes des puissances semblables des diviseurs d'un nombre, on sait calculer les fonctions symétriques rationnelles quelconques de ces diviseurs.

69. Produit des diviseurs dUin nombre. — Soient (2) I, d, d\ ..., n

tous les diviseurs d'un nombre.

Ck)nsidérons les diviseurs complémentaires :

Les diviseurs de la suite (3) sont en même nombre que ceux de la suite (2); d'ailleurs deux quelconques d'entre eux sont différents. Par conséquent la suite (3) contient, comme la suite (2), tous les diviseurs de n. On a donc, en appelant P le produit cherché

V = i.d.d' ... n et

n n n n ^^T'dd'"'n'

Faisons le produit de ces deux égalités et remarquons qu'il y a, dans chacun des seconds membres, (a -f- i) (P -|- i). • .(X-+-i) facteurs ; il vient

d'où