Cherchons l'expression générale de o(n
Soit n = a^b? , . . l^. Supposons écrits les nombres
dans cette suite barrons successivement les nombres divisibles par a, puis ceux divisibles par 6, etc.; barrons enfin tous les nombres divisibles par /; nous aurons ainsi barré tous les nombres de la suite non premiers avec n et il ne restera plus qu'à voir combien il reste de nombres dans la suite.
Or les nombres de la snite divisibles par a sont :
a, 2a, 5a, . . . , — ci'j a
leur nombre est -> et quand ils sont barrés il reste
n = n ( i ) nombres.
Les nombres de la suite divisibles par b sont de même (5) 6, 26, ..., ^b.
Mais certains ont déjà été barrés comme multiples de a: il faut donc commencer par barrer les multiples de a de la suite (5).
Or soit kb un nombre de la suite (5) : pour qu'il soit divisible par a, il faut et il suffit {a et b étant premiers entre eux) que k soit divisible par a.
Donc pour compter combien il restera de nombres de la suite (5),
(') Si l'on définissait 9(n) comme le nombre des nombres plus petits que n et premiers avec lui, on aurait 9(1) = 0, tandis qu'avec la définition du texte on a ç(i) = i.
THÉORIE DE L'l!<iDIGATECB. 33
quand on aura barré les multiples de 6, il suffit de résoudre le même problème pour la suite
Or, d'après ce qu'on vient de dire, si dans cette suite on barre les multiples de a, il reste
■r ( I ) nombres.
Ce sont ces nombres qu'il faut barrer dans les nix j qui
restent de la suite (4). H en restera donc
ou
el ainsi de suite. Finalement, quand on aura barré de la suite (4) les multiples de a, de 6, . . ., de /, il restera
(6) ç(/i)=/i^i — M /, M...N -ij nombres.
72. Remarque /. — Si /i est premier ç(/i)==n — i. C'est évident à priori, et c'est d'accord avec la formule (6).
73. Remarque IL — ?(w) est pair à moins que n = 2. En effet, à tout nombre k premier avec n, correspond le nombre n — k qui est aussi premier avec n. D'ailleurs on ne peut avoir k = n — k
que si A" = -• Mais - n'est premier avec n que si /i = 2. Donc, ce
cas écarté, on voit que les nombres premiers à n vont par couples. Donc leur nombre est pair. Cela d'ailleurs résulte aussi très facilement de la formule (6).
