GHÀP. II. — COMPLÉMENTS AUX THÉORIES ÉLÉMENTAIRES

les deux nombres n et n! n'ayant pas de facteurs premiers communs, on a

comme décomposition de nrJ en facteurs premiers. On a donc

Donc

(p(nn') = <p(/i) ?(«')•

7S. Théorème. — La somme des indicateurs des diviseurs d'un nombre est égale à ce nombre.

En effet, considérons le produit

[(p(i)4-7(a)+(p(a«)+...4-f(a«)][<p(i)-+-cp(^»K...4-(p(6P)]... [9(1)4- cp(/)^...^

Si l'on multiplie un terme de la première somme par un terme de la seconde, par exemple cp(a'") par ^{bP), a^ et b^ étant premiers entre eux, on obtient o(a'^bP). Multipliant ce produit par un terme de la troisième ligne «p(c^), on obtient ff{a'^bPc9) et ainsi de suite. On voit donc que le produit indiqué est égal à la somme des indicateurs des diviseurs du nombre n. Or

De même

<p(l)-+-(p(6 )■+-... 4- <p(6P) = 6P..., etc.

Donc le produit indiqué est égal à c'est-à-dire à n.

THÉORIE DE L'iNDIGÀTEim. 35

76. Vu rimportance de ce théorème, nous allons en donner une seconde démonstration.

Soit€/ un diviseur de n. Cherchons combien il y a de nombres plus petits que n et ayant avec n, comme plus grand commun diviseur, le nombre d.

Soit a un nombre plus petit que n et tel que le plus grand

commun diviseur de a et de n soit d. Par suite, «'=2 ^^^ P'*^* petit que ^ et est premier avec lui.

Réciproquement, soit a' un nombre plus petit que ^ et premier

avec lui ^ a^d sera plus petit que /?, et aura avec lui d comme plus grand commun diviseur.

Donc le nombre cherché est égal au nombre des nombres plus

petits que ^ et premiers avec lui, c'est-à-dire ^^{2)'

Ceci posé, soient 1, rf, rf', . . ., n les diviseurs de n.

Parmi les nombres i, 2, 3, . . ., /i non supérieurs à n, il y en a

<p f — j qui ont avec n le nombre i pour plus grand commun diviseur.

D'ailleurs tous les nombres i, p., ...,n se trouvent dans l'éni*mération précédente. On a donc

ou, puisque les nombres -, -j> -t7> • • • » — ne sont autres que les nombres i , rf, rf', . . . , n (n° 69),

ç(l)-hcp(rf)-+-<p(rf')-t-...-4-ç(/l) = 71.

Remarque. — Généralisation de la remarque du n^ 38 de la première Partie. — Soit h un nombre, a< , aj, .. . , a^^^) les nombres

36 CHAP. II. — GOHPLÉHElfTS AUX THÉOHIBS ÉLÉMENTAIRES.

plus petits que h et premiers avec lui. Tout nombre premier est de l'une des formes A/i-f-ai, A/i + aa, . . ., An-h a^^^)» Vi étant un nombre entier.

77. Indicateurs des différents ordres. — La théorie de l'indicateur se généralise delà façon suivante :

On appelle indicateur du p»*™® ordre le nombre de groupes de p nombres, tous non supérieurs à n, et tels que ces p nombres et n soient premiers dans leur ensemble. On peut encore définir ces groupes, en disant que ce sont les groupes de p nombres, tous non supérieurs à n et tels que leur plus grand commun diviseur soit premier avec n. Désignons ce nombre par <fp{n).

On a

Cherchons l'expression générale de ^p{n).

Soit n= a^b? ... l^. Supposons écrits tous les groupes de p nombres non supérieurs à n. Ces groupes sont au nombre de nP. Barrons successivement les groupes dans lesquels tous les nombres sont divisibles par a, puis ceux dans lesquels tous les nombres sont divisibles par b, etc.

Or, les nombres non supérieurs à n, et divisibles par a, sont

Ils sont au nombre de - et peuvent former (-j groupes

de/? nombres.

Donc, si l'on barre ces groupes, il reste

nPou

n/'U— ^j groupes.

Le raisonnement se continue comme on l'a fait plus haut pour <p(/i), et l'on trouve

DÉCOHP. EN FàGTBUBS PREMIERS DO PRODUIT DES n PREMIERS NOMBRES. 87

78. Nous nous contenterons d'énoncer les théorèmes suivants :