II. <fp(n) est pair, à moins que n
m. n et n! étant premiers entre eux
rV. La somme des indicateurs du p^^^"^ ordre des diviseurs de n est égale à nP,
Tous ces théorèmes se démontrent comme les théorèmes analogues sur rindicateur du premier ordre (*).
§ III. — Décomposition en facteurs premiers du produit des n premiers nombres. Applications.
79. Problème. — Le produit des n premiers nombres étant supposé décomposé en facteurs premiers, quel est l'exposant du facteur premier p dans ce produit?
Parmi les nombres de 1 à /z, ceux qui contiennent le facteur premier/) sont les nombres
i./?, 2./>, 3./>, ..., ^y^J'Pf
leur nombre est E ( - j .
Maïs certains de ces nombres contiennent le facteur premier p élevé au carré, ce sont les nombres
!./>«, 2./>«, 3./>«, ..., e(^)./>î, leur nombre est E ( — J •
(*) L^indicateor do premier ordre a de nombreuses applications : à la théorie des équations binômes, à celle de la division du cercle, etc.
L'indicateur du second ordre s*est rencontré dans la théorie des fonctions modulaires elliptiques (t;oi>, par exemple : Vorlesungen ûber die Théorie derelliptischen Modulfunctionen de Klein, publié par Fricke). Nous le rencontrerons plus loin dans la théorie des substitutions linéaires.
38 CHAP. II. — cohpUments aux thêobies élémentaires.
De même le nombre des nombres de i à n qui contiennent le
fadeur />* est E ^-^ j et ainsi de suite.
On voit que le facteur premier p est contenu dans le produit proposé un nombre de fois égal à
Kî)-'^(,-)— '^(^>
p^ étant la plus haute puissance de />, non supérieure à n, c'està-dire, a étant tel que
On peut d'ailleurs remplacer la somme précédente par e(-We^^W... (indéfiniment),
puisque tous les termes qui suivent E( -^ j sont nuls.
80. Appliquons ce résultat à la démonstration du théorème suivant :
Le produit de n nombres consécutifs est divisible par le produit des n premiers nombres.
Ainsi (m -^\){m-\- 2). . .(m -+- n) est divisible par n\ {n\ représentant comme à l'ordinaire le produit des n premiers nombres).
En effet, nous allons montrer que tout facteur premier p est contenu dans le premier de ces produits avec un exposant au moins égal à celui avec lequel il est contenu dans le second.
L'exposant de p dans le second produit est
Pour trouver l'exposant de p dans le premier produit, remarquons que ce produit peut s'écrire
Donc l'exposant cherché est
DÉCOXP. EN FAGTBUES PREMIERS DU PRODUIT DBS n PREMIERS NOMBRES. Sq
OU
On a donc à montrer que
Pour cela, il suffit de montrer que chacun des termes du premier membre est plus grand que chacun des termes du second, et pour cela, enfin, il suffit de montrer que, K étant un nombre quelconque,
<„ E(!^)-E(2)iE(i).
Or on a
Donc
Donc, puisque le second membre est entier,
ca qui revient à l'inégalité (7).
81. Autre démonstration de ce théorème. — Une autre démonstration du théorème précédent repose sur l'identité facile à vérifier
Pour démontrer que le premier membre est divisible par n!, il suffit de prouver que m(/n 4- i). . .(m + n — 1) est divisible par n\ et que (m 4- i)(m-|- 2), . .(m + n — 1) est divisible par (/i — i)!; c'est-à-dire qu'on est ramené au même théorème que
4o C3AP. II. — COMPLÉMENTS AUX THÉORIES ÉLÉMENTAIRES.
celui que l'on a en vue, mais m étant remplacé par m — i ou n par n — i . On voit que, de proche en proche, on est ramené à des propositions évidentes (* ).
§ IV. — Des nombres entiers on fractionnaires négatifs.
82. Nous supposons que le lecteur connaît la définition et les règles du calcul des nombres négatifs.
En particulier, si Ton considère des nombres entiers négatifs, quelles sont les propriétés démontrées jusqu'à maintenant pour les entiers positifs, qui peuvent s'appliquer à ces nouveaux nombres?
Les définitions de multiple, diviseur y subsistent sans changement.
83. Des restes négatifs, — Soient a et b deux nombres, a n'étant pas divisible par 6. Il y a deux multiples consécutifs de 6 qui comprennent a, soient qb et (gr + i)6, et l'on peut écrire
a — qb -\- r,
ou
r et r' étant positifs et plus petits que b, La quantité r' peut s'appeler un reste négatif.
Reste minimum, — Entre les nombres r et r' on a la relation
Il y a donc en général un des deux nombres r, r' qui est plus
b petit que -•
(') On sait que ce théorème résulte d'ailleurs de ce que l'expressioa
(m -Hi) (m-i- a)...(m-i- /i) . , , , ,. • j / . v
-^^ — r-^ i représente le nombre de combinaisons de (/?n-/i)
objets /i à /t.
Le lecteur pourra démontrer les théorèmes du même genre suivants : V ex pression (m/i)I est divisible par l'expression (m!)''(/i!), théorème que
l'on rencontre dans la théorie des groupes de substitutions. L* expression ( a m) ! ( 2 n ) ! est divisible par l'expression m\ n\ {m-^ n)\y
proposition déduite par Catalan de certaines formules elliptiques.
DES NOMBBES ENTIERS OU FRACTIONNAIRES NÉGATIFS. ^l
Dans le cas particulier où b est pair et où r = -, r' est aussi
ésral à - •
En définitive, on voit qu'on peut toujours écrire
a = 6^ -t-p, p étant positif ou négatif, mais au plus égal à - en valeur absolue.
p s'appelle le reste minimum de la division de a par b. Il est déterminé, excepté quand, b étant pair, a est équidiflerent de deux multiples consécutifs de b. Dans ce cas, le reste minimum
est indifféremment H — ou
84. Les diviseurs de a et de — a sont identiques. Dans la recherche des communs diviseurs à deux nombres, on peut donc toujours opérer sur des nombres positifs.
Le nombre — i doit être considéré comme une nouvelle unité.
Les nombres négatifs sont décomposables, et d'une seule façon, en un produit de facteurs premiers positifs, multipliés par — i.
Pour que cette décomposition ne puisse se faire que d'une seule façon, il faut convenir que l'unité — i n'est jamais élevée à aucune puissance.
8o. Nombres fractionnaires négatifs. — La seule remarque que nous ajons à faire sur ces nombres porte sur l'expression suivante : partie entière d^un nombre négatij. D'une façon générale, la partie entière M d'un nombre quelconque m est définie
par les conditions
Ml m < M -M.
On voit que les nombres m et — m n'ont pas des parties entières égales et de signes contraires, à moins que m ne soit entier. Ainsi la partie entière de (7 -hf) est 7; celle de — (7 -l-|) est — 8.
Aet B étant des nombres entiers positifs ou négatifs, la partie
entière de ^ s'appelle aussi le quotient à une unité près de -^'
Si de A on retranche le produit par B de ce quotient, on trouve un nombre positif que nous appellerons reste (à moins qu'on n'indique spécialement qu'on veut parler d'un reste négatif).
4a CffAP. II. — COMPLÉMENTS AUX THÉORIES ÉLÉMENTAIRES.
§ V. — Fractions continues.
