On appelle fraction continue une expression de la forme

aj-f-

Un

«2? • • • j ûJ„ étant des nombres enûers positifs. Quant à a<, c'est un entier positif, négatif ou nul.

Nous représenterons aussi cette expression par la notation plus simple [tZ], a2j • • • > ^/t]-

87. Toute fraction continue est égale à un nombre commensurable, car si l'on considère les nombres

le dernier de ces nombres n'est autre que j^. Or, le premier de ces nombres étant commensurable, le second ^2 l'est aussi, puis y», et ainsi de suite.

Réciproquement, tout nombre commensurable est égal à une fraction continue et à une seule.

En effet, soit un nombre commensurable ^', cherchons à déter-

miner des entiers «i, «2, . . . , a« positifs à partir du second, de façon que

Oa-h.

On voit que ^ doit être égal à a< plus un nombre positif plus

petit que i. Donc a^ est le quotient à une unité près de A par B. a^ étant ainsi déterminé, on tire de l'égalité (8)

A — Bai «3-

an

FHACTIONS GONTIIVUBS. 4^

Or, at élant le quotient de la division de A par B, le nombre A — Bui en est le reste; appelons-le r^ On a donc ,

ri ai-

de sorte qu'on est ramené à réduire en fraction continue le

nombre — •

eza est le quotient de la division de B par r, à une unité près, et si l'on appelle rj le reste de cette division on a

— = ajH

et ainsi de suite.

En définitive, les nombres a<, a2, . . . sont déterminés par une suite d'opérations qui est la même que celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de A et de B. Cette suite d'opérations amène à deux nombres dont la division se fait exactement.

Soient r„2 et r„< ces deux nombres. On a

rn-i

et

an

Exemple : Soit le nombre ^« On a à efTectuer les opéra-

tions suivantes :

d'où

ID