Réduites, — Soil à calculer la fraction contÎDue

[«1, ai, ...,«„]

connaissant ai, as, • • • , a/i.

La méthode qui se présente la première à l'esprit est de calculer les nombres

j\ jn—x

dont chacun se calcule en fonction du précédent et dont le dernier est la fraction continue cherchée.

Mais on peut au contraire calculer la suite des nombres

^1» «iH » aiH- ' ) •••» «iH •

aj I «1-1-1

Le dernier de ces nombres est la fraction continue elle-même. Mettons en évidence leur forme fractionnaire. Le premier d'entre

eux étant «i, ou —t posons

P, = a„ Qi = i.

De même le second étant ai H ou — ^— ^ — > posons

Pj=aia,-t-i, Qi=a2, et ainsi de suite; de sorte que la p^^^^ fraction ainsi calculée est désignée par ^^ •

Ces fractions s'appellent réduites (* ).

(^) Mais P et Q ne sont évidemment pas définis par la seule conditioo p que ^ est égale à la /?**"»• réduite. P^ et Q^ sont déterminés par le fait

qu'ils sont calculés comme on vient de le dire, ou encore, comme on va le

P^ voir, P^ et Q^ sont déterminés par le fait que J^ est la forme réduite à sa plus

simple expression du nombre a, h • C*est pour celte raison que ^

s'appelle réduite.

FHÀCTIONS CONTINOES. ^5

89. Je dis qu^on a pour calculer les nombres P et Q de proche en proche les formules

Qp=Q/»-iap-4-Qp-i.

En effet, cette loi de récurrence se vërifie facilement pour les premières réduites. Supposons-la vraie pour les réduites jusqu'à la {p — i)»*"'. On a donc

Pp-i __ Pp-jqp-t -4- Pp-3 ^

Qp-i Qp-i«p-i -+- Q/>-3

P . p * I Or ^ se déduit de -^^ en changeant ap i en ap< H ;

d'autre part, Pp^2f Qp-2j P/>-3) Q/>-sî sont indépendants de a^„<. La formule précédente donne donc

p^ ^ ■-/'-« V"P-.-^ -y -^'-P-. (P^,a^^,-t-P^,)ap.^P^.,

>, («;,-.+ f) + Q.-, (Q/-»«p-.-t- Q/-3)«p+Qp-«

Mais par hypothèse

Pp jap t H- Pp-» = Pp-iï

Qp-î «p-i ■+- Qp-3 = Q.p-1' Donc

Donc

Pp Pp-tUp-i-Pp-t

Qp Qp-iap-h Qp-i'

1 P;.= Pp,ap-f-Pp„

Remarque, — Ces formules montrent que, si a» est positif, les quantités P^ et Qp sont positives et croissent avec Tindice. Si a^ est négatif, P^ est négatif et Q^ est positif, mais leur valeur absolue croît avec l'indice.

Exemple. — Soit la fraction continue

Les deux premières réduites sont

46 CHAP. II. — COMPLÉMENTS AUX THÉOHIES ÉLÉMBNTAIIUB8.

et

et en calculant les autres de proche en proche, on trouve la suîte