Les réduites -et-* — La loi de formation des réduites

que nous venons d'indiquer ne commence à s'appliquer qu'à la

troisième réduite. Ainsi, dans l'exemple précédent, les deux pre-

I 5 mières réduites - et 7 ont été calculées directement. I 4

Soit la fraction

[ai, as, . ,.,an\y on a

Qi "" 1 ' Qî "" a, •

Il est facile de voir qu'en posant

Po=i, P-i = o, Qo=o, Q-i=i,

P P on peut calculer 5^ et g^ par les formules générales (9).

On a, en effet,

Pj = a, a, -h I = Pj aj -h Pq, Q, = I X a, -1-0 = Qia,-^Qo et

P,= 1 X ai^-o = Poai-4- P i,

Q, = o X ai-f- I = Qoat ■+■ Q i.

Cette remarque permettra quelquefois d'étendre, sans démon-

P P stration particulière, aux réduites q^ et g^, des résultats dépendant des formules (9).

91. Théokème. — Entre les termes de deux réduites conséxiste la relation

PpQp-t-Pp-iQp=(-i)p.

P — P cutives jc^-i et ^ existe la relation Vp-i Vp

FRACTIONS CONTIIfUES. 4?

En effet, remplaçons P^ et Qp parles expressions (9), il vient Vp Qp-, - Pp-, Qp = ( P;^, ap 4- P;^, ) Qp- j - Pp-, ( Qp-, ap -h Qp, )

ou

Pp Qp^, - Pp-, Qp = - ( Pp-, Qp-î - Pp-i Qp-, ).

Autrement dit, la quantité P/>Q/>i — P/>-<Q/» conserve la même valeur absolue, mais change de signe quand p augmente d'une unité. Or pour/> = o

PoQ-,- P-,Qo= (I X i)-(o) (o) = I.

Donc, en général,

PpQp i-Pp-.,Qp=(-i)p.

92. Corollaire. — Les réduites sont des fractions irréductibles. — En effet, d'après Tégalité précédente, le plus grand commun diviseur de P^, et Qp doit diviser i .