FRACTIONS CONTINUES
est à gauche de A2, maïs Ai A3 étant plus petit que AiAa, A3 est entre A« et A^. De même A4 est entre A2 et A3 et par suite entre A| et A2, et ainsi de suite.
Il résulte aussi de ce qui précède que, dans la suite m,, Moj •••?"/!> les termes d'indices impairs vont en croissant avec l'indice, tandis que les termes d'indices pairs vont en décroissant. Un terme quelconque d'indice impair est d'ailleurs plus petit qu'un terme quelconque d'indice pair.
Si l'on applique ce qui précède aux réduites d'une fraction continue, on voit que toute réduite est comprise entre deux réduites consécutives précédentes. En particulier, la dernière réduite, c'est-à-dire la fraction continue elle-même, est comprise entre deux réduites consécutives quelconques.
ly ailleurs les réduites d'indice impair vont en croissant, les réduites d'indice pair vont en décroissant^ et une réduite d'indice impair quelconque est plus petite qu'une réduite d'indice pair quelconque.
95. Considérons encore la suite (10). Si la différence entre deux termes consécutifs de cette suite est plus petite en valeur absolue que la moitié de la différence entre les deux précédents, il arrive que, de deux termes consécutifs, le second diffère moins que le premier de tous les suivants.
Considérons les deux termes consécutifs U2p^Ky Uip et un terme suivant, U2q par exemple. On a vu que
Je dis que
(11) ajp— Uiq< Uiq— U,p-i.
On a, en effet,
D'après ce qu'on a vu au n® 94, tous les termes de cette somme, à
partir de "'^'"^ "*^"' sont positifs; U2ç est donc égal à "«p-< ~^ "«p
5o GHAP. II. — COMPLÉMENTS AUX THÉORIES ÉLÉMENTAIRES.
augmenté d'une suite de termes positifs. Donc
inégalité qui revient à Pinégalité (i i).
Ce résultat d'ailleurs se voit encore très facilement par la représentation géométrique de plus haut. Si A3 A2 est plus petit
que > le point A3 est plus près de A2 que de A| ; il en est de
même a fortiori de A4, A5, . . . puisque ces points sont à droite de As.
La circonstance précédente se présente justement pour les réduites d'une fraction continue. La différence entre deux réduites consécutives est plus petite en valeur absolue que la moitié de la différence précédente. En effet, deux différences consécutives sont, en valeur absolue (n** 93),
et
Or
Qp-hi = Qp«/»-Hi -f- Qp-i-
Qi, est plus grand que Qp i, et le nombre entier positif a^^» est au moins égal à i ; donc
Donc
On peut donc dire que de deux réduites consécutives, la seconde diffère moins que la première de toutes les réduites suicontes, et en particulier de la dernière, c'est-à-dire de la fraction continue elle-même.
En résumé, les réduites successives d'une fraction continue sont alternativement plus petites et plus grandes que cette fraction, et chacune d'elles diffère moins de cette fraction que les précédentes,
96. Enfin une dernière propriété des fractions continues, d'une grande importance dans les applications, est la suivante :
Théorème. — Dans la réduction en fraction continue d'un
FRACTIONS CONTINUES. 5l
nombre positif j chaque réduite diffère moins d'une réduite
suis^anle quelconque {et en particulier de la fraction continue
elle-même) que toute fraction irréductible ayant des termes
plus simples,
En effet, soient une réduite ^r» une réduite suivante -^ et une
fraction .= . Le théorème revient à dire que, si -^ est plus appro-
chée de -^ que ^r' A et B sont respectivement plus grands que Pp
et Q,,.
En effet, supposons, pour fîxer les idées, p impair, de sorte que
^ ^ £ ,^ ^p~^ Qp ^ Q ^ Qa>-.
^ étant plus approché de ^ que ^ Test a fortiori plus que ^^ •
On a donc
On en déduit
Qp-i Qp^Qp-i B^""' d'où l'on déduit (à cause de la relation Py,< Q), — Q/»-i P/, = i )
I BPp-,-AQ^-t ^ ^ .
Qp ^ B ^ '^'
d'où
. B>Qp(BP^,-AQp t)>o.
B est donc plus grand qu'un multiple positif de Q^, donc a for-
P A BP
tiori plus grand que Qp. D'ailleurs, de ^ < ^ on tire A > -7^-^'
Vp ** Vp
et a fortiori A ]> P^,.
97. Remarque sur la réduction en fraction continue des nombres négatifs. — Réduire en fraction continue un nombre
négatif — ^, c'est écrire
a^fc
