Cas particulier, — Examinons le cas particulier où les

THÉORÈMES DE FERMAT ET D^EILER. 6r>

modules a, p, . . . , X, (ji sont premiers entre eux deux à deux. Dans ce cas le plus petit commun multiple des p premiers mo dules est premier avec le (/> -+- i )**''"''. Donc le problème est possible. De plus les solutions sont de la forme

car le plus petit commun multiple des nombres a, fi, . . . , A, jx est é*;al à leur produit.

D^âilleurs, dans ce cas on a facilement la solution particulière .r„ de la façon suivante : cliercbons d'abord un nombre X\ tel que

X\-.^ \ (mori a), xx <> (inod 3 ),

j"i - <» ( iiiod ). ), j^i o ( niod jji).

On a évidemment un tel nombre par la formule py.. .a;jl/,, /, étant déterminé parla condition

PX. . .À;ji./|;- I ( niod a).

Soient de même x ^^ .r;,, . . ., Xn des nombres satisfaisant aux conditions

x^'^- o (niod a). ^3 . <» ( mod a ;,

r* r-i I (mod^), j-ji-o (niod 3 j,

j-j^o (modY), ^3 I (modY)t

j'jH^o (mod(ji). X3 o (niod;ji).

X X , Xi^ . . . , :r„ étant ainsi déterminés, le nombre

Xq — axx -^' bxt -+- . . .-H /j'/i-i -4 rnx„

répond à la question.

Il est à remarquer que X|, a'j, . . . , x„ sont indépendants de

rt. by ..., /, m.

§ III. — Théorèmes de Fermât et d'Euler.

117. Bien que le théorème de Fermât ne soit qu'un cas particulier de celui d'Euler nous le démontrerons d'abord à cause de sa grande impprtance.