CHAPITRE I

§ I. — Égalité des nombres entiers. Opérations. Numération.

i. L'Analyse tout entière repose sur les notions indéfinissables d^unité et de nombre entier. La notion A^égalité de deux nombres (*) est comprise dans les précédentes. Ajoutons-j la notion de somme de deux nombres. Enfin admettons que la somme de deux nombres ne dépend pas de l'ordre dans lequel on les ajoute,

2. Mais on peut définir la somme de plus de deux nombres en disant que c^est le résultat obtenu en ajoutant d^ abord les deux premiers nombres, puis la somme obtenue avec le nombre suivant, et ainsi de suite.

En particulier, on peut former tous les nombres, en ajoutant Tunité à elle-même, puis encore une fois l'unité au résultat, et ainsi de suite. Les premiers nombres ainsi formés s'appellent un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix et se représentent par les signes suivants :

I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, S, 9, lo.

(') Comme dans tout ce qui va suivre, il ne s'agit que de nombres entiers, nous supprimerons répithéte entier sans qu*il en r<^5ulte de confusion. C. I

Les nombres étant formés de cette façon, tout nombre est dit plus grand que ceux qui ont été formés avant lui, et plus petit que ceux qui ont été formés après.

Nous devons admettre encore un résultat sans démonstration, à savoir que : la somme de trois nombres ne change pas quand on change V ordre des deux derniers.

Nous en avons fini avec les notions indémontrables qui forment la base des Mathématiques. Tout le reste s'en déduit par les règles ordinaires du raisonnement.

3. Démontrons d'abord le théorème suivant : La somme d'un nombre quelconque de nombres est indépendante de Vordre dans lequel on les ajoute.

En effet, de ce que nous avons admis, relativement à une somme de trois termes, il résulte immédiatement que, dans une somme d'un nombre quelconque de termes, on peut interOertir Vordre de deux termes consécutifs.

Ceci posé, considérons les termes rangés dans un ordre quelconque. On peut amener le terme que l'on veut à la première place, en l'échangeant avec le précédent, puis avec le précédent, et ainsi de suite. Ensuite on peut amener le terme que l'on veut à la seconde place, et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les termes soient rangés dans l'ordre que l'on aura voulu.

4. Pour trouver la somme de plusieurs nombres, on peut les répartir en groupes, chercher séparément les sommes des nombres contenus dans chaque groupe, et enfin faire la somme de ces sommes partielles.

En effet, d'après la définition même de la somme de plusieurs nombres, on peut remplacer les premiers de ces nombres par leur somme effectuée. Comme d'ailleurs des termes quelconques peuvent être placés les premiers, la proposition est démontrée.

5. Notations. — Quand on raisonne sur des nombres, indépendamment de leurs valeurs particulières, on représente souvent ces nombres par des lettres.

La somme de plusieurs nombres a, 6, . . . , / se désigne par a -T- 6 -4- . . . -h /.

égàuté des nombres entiers. 3

L'égalité de deux nombres a, b se note de la façon suivante :

L'inégalité se note de la façon suivante : a >> 6 ou a <; 6 suivant que a est plus grand ou plus petit que b.

6. Différence de deux nombres. — De la notion de somme, on déduit celle de différence de la façon suivante : On appelle différence entre un nombre a et un nombre b, et Ton représente par a — A, le nombre qu'il faut ajouter à b pour reproduire a. Cette différence n'existe que si a est plus grand que b.

7. Du nombre zéro. — Soit o un signe que nous appellerons zérOy et que nous placerons au rang des nombres.

Par définition, a étant un nombre quelconque, on a

On en déduit

aH-o-4-6 = a4-6-l-o.

Le nombre zéro jouit donc des propriétés que l'on a jusqu'à maintenant reconnues aux nombres. On peut donc raisonner sur lui comme sur les autres.

L'introduction dans les calculs de ce nombre zéro est indispensable dans la suite. Dès maintenant, elle nous permet, dans la définition de la différence, de supposer les deux termes de la différence égaux entre eux.

On a, en effet,

Remarquons aussi que

8. Polynômes. — On appelle polynôme une expression composée d'une suite de termes séparés par les signes -h et — , par exemple,

et représentant le nombre qu'on obtiendrait en additionnant a et 6, puis du résultat retranchant c, et ainsi de suite.

9. Calcul algébrique. — On appelle calcul algébrique Fart de transformer les expressions contenant des nombres indéterminés, d'après des règles indépendantes des valeurs particulières de ces nombres.

Dans cet Ouvrage, nous ne traiterons pas du calcul algébrique ; nous en regarderons les principaux résultats comme connus du lecteur, nous bornant à les rappeler, au besoin; parmi ces résultats, un des premiers est le suivant, relalif aux poljnomes :

Pour additionner deux polynômes, il suffit de les écrire les uns à la suite des autres en les séparant par le signe +.

Pour retrancher un polynôme d'un autre, il suffit de l'écrire à sa suite, en mettant le signe — devant son premier terme, et changeant les signes de tous les autres,

10. Multiplication, — Considérons une addition, dans laquelle tous les nombres à ajouter sont égaux.

Soit à ajouter b nombres égaux à a; la somme obtenue dépend de a et de b. On Tappelle produit de a par b. On représente ce produit par a x 6, ou a. 6, ou plus simplement par ab,

aetb s'appellent les facteurs du produit.

La multiplication se présente ainsi comme une nouvelle façon de combiner les nombres, et par suite comme une source de nouveaux calculs.

H. Cas des facteurs zéro et un, — Mais les nombres o et i échappent aux définitions précédentes. Il est cependant nécessaire que ces définitions n'aient pas d'exceptions, sans quoi les calculs seraient à chaque instant gênés par des restrictions insupportables. On donne donc les définitions formulées par les égalités

suivantes :

12. Produit de plus de deux facteurs, — On définit ensuite le produit de plus de deux facteurs. C'est le résultat obtenu en multipliant d'abord les deux premiers facteurs, puis le produit obtenu par le facteur suivant, et ainsi de suite.