RACINES PRIMITIVES
exemple^ supposons qu'il y en ait
/tt qui soient racines primitives de la congruence x — i - o, ni a x^ — t - o,
ni' » x^' — I = o,
ip^i
XP-i -^ I -5. O.
D'après ce qu'on a dit plus haut, les/? — i nombre-» considérés sont tous compris dans cette énumjration. Donc
/*!-+- ng-H /15'-H.. .4-/1/,-! =/î — I.
D'autre part
/Il = o ou /l| = f (i),
/!{ = o OU /Ig = <p(8),
ni' = o ou /ïg- = ?(5')»
n;, = o ou /!,,, = <p(/> - i).
Or
<p(l)H-ç(0)-4-...-hç(/?~l)=/? — I,
et, comme on l'a dit plus haut,
/t|-+- /Ig-H /Ig-h. ..-H /Ip-i = /> — I.
Donc, si un seul des nombres /i|, /ig, . . ., /i^.i était nul, leur somme ne pourrait être égale à/> — i .
Donc
/i, = <p(i), /ïs=©(5). ng'=(p(8'). ..., /ip, = <p(/) — I). C'est ce qu'il fallait démontrer.
146. Racines primitives du nombre premier p, — En particulier, il existe cp(/> — i) racines primitives de la congruence
xP-^ — \ ~.o (mod/>).
Ces racines primitives sont dites racines primitives du nombre premier p.
147. Théorème. — Si a est une racine de la congruence x^ — I ^ o et a' une racine de la congruence x^' — i ^o, aa' est racine de la congruence x^^' — i ^o.
ClUP. III > — DES flOPiCiltENCEÎ?.
Eïi effel, des eoiigrucnces
aL*^''^ K
on dédutl facilcmcnL
148. TjiÉonrMK. — Si a esf racùie prît/titwe Je la con^ g r lien ce x^ — i^o et % racine primitive de la con- ^ruence j-^'— 1=0 ei que Z et 3' soient premiers entre eux, aa' est racine primitive de la cangruence x^^' — t = o.
En cffrtj supposons que aa' soll racine de la congru encc On a Jonc ou en élevanl les deux membres à la puissance 3
Mais a^ esl congru ït 1. Donc la condilion précédente peut s'écrire
Or puisque x' est racine |>rîmiLive de la congru en ce x^' — 1 ^ 0|
ceci exige que 3/r soit uu niulliple de 5', et, |)uîsque 5 et S' sont
premiers entre eux, ceci exige cnlln que /i soÎL un mufliple de î* On verrait de même que A est un mulliple de 3', A étant un niullrple commun de 3 et 5' qui sont premiers entre
eu^, h est niultif*le de 5o^ Donc la plus petite valeur possible*
de h est égale à 55',
Donc ocai' est racine primitive de la congruence
119, liestes des puissances successi^^es d*tin nombre par rappcri à un module premier, — Les résulials précédents peuvent s'énoncer autrcmenl.
Soit a un nombre quelconque non divisible par un module premier/?, (.unsidérons la suite indéfinie des puissances de a,
ms
.Ui
INDICES. Hî>
et divisons-les par />, elles donnent des restes dont aucun n'est nul et qui sont par conséquent certains des nombres 1,2,...^ p — I. Soient
'*i. 'i rz, rs+.,, ...
ces restes.
Nous avons vu qu'il existe toujours une congruence x^ — i := o dont a est racine primitive.
Les nombres a, a^, . . . , a^ sont alors incongrus deux à deux, le dernier de ces nombres étant congru à 1 . De plus on a vu que ces puissances forment une suite périodique de termes, deux termes dont les rangs diffèrent d'un multiple de 8 étant congrus (mod/>).
Donc, les restes r<, r2, . . . , r^ sont inégaux, le dernier étant égal à 1. La suite indéfinie des restes est une suite périodique de 5 termes, deux termes dont les rangs diffèrent d^un multiple de 5 étant égaux.
Ce nombre 0, qui est un diviseur de /> — 1 , est dit Vexposant xiuquel appartient 7. par rapport au module premier p.
Il existe ç(3) nombres incongrus deux à deux (mod/?) et appartenant à Vexposant 5.
En particulier, les racines primitives du nombre p sont les nombres qui appartiennent à l'exposant/? — 1. Il y en a cp(/7 — i) incongrues deux à deux. On peut les choisir parmi les nombres I, 2, ..,/? — I.
Le théorème du n" 148 peut s'énoncer ainsi : Si deux nombres a, a' appartiennent à deux exposants 3, 8', premiers entre eux, le nombre aa' appartient à Vexposant S3'.
ioO. Indices. — De la théorie précédente de la congruence X" — 1^0, nous allons déduire une nouvelle notion, celle d'indices, qui nous servira ensuite dans la considération de l'équation binôme la plus générale x'* — a eie o.
Soit g une racine primitive de/7. Les nombres
sont congrus (mod/>), à l'ordre près, aux nombres
Par suite, soit a un nombre quelconque, non divisible par /?•
B6 CHAI*, tu. — BÊS CO^IGRUENCES.
Il cuisle un des nombres de la suite (21), et un senlj qui est congru à a (mod/?), Soil g^ ce nombre, a esl dit Vindtce de a dans \r système d'indices de base g ci d^ modale p.
On remarquera Tanalogie de celle défini tîon, avec celle des logaritbnies.
On désignera T indice de a dans le système de base g par la notation ind^^.
151, Théorème, — Soit a l'indice d'an nombre a\ soit S fe plus grand commun divàear de % et de p — i ; Je dis que a
appariient ii £ exposant ^--9— -
En efietj on u
a = ^^ (moûp).
Donc
quel que soit /■.
Donc pour que a^ soil congru à t , il faut et il suffit que rz soit divisible par /^ — i, c*est-à-d»re que l'on ait
ou
t'3L = o I iriinh p —I >]
Or, pétant premier avec ^-Ç^% h première vuleur de r pour
laquelle celle condition a lîeu esl /* ^=r ^-^ 1 ce qui démontre le
lliéorème.
Eu particulier, les racines primitives sont les nombres donl rindice est premier avec p — t. Ainsi : Connaissant une racine primitive^ on les a touies en élevant la première à des puissa nées do m les exposants sont premiers avec p — i- (C'est \m lliéorème VI du n° 145.)
152, Voici maintenant de;^ propriélés des indices qui montrent leurs analogies avec les logarilbmes :
TiiÊotifcME- — L* indice d'au prodnii de fadeurs est confftti [mod {p — ! )], à ia somme des indices des /acteurs.
En effet, soient «, a! ^ a" des fadeurs; a, a\ a" leurs indices. Soil A l'indice du produit. On a
a - ^'^ (mod/;i,
rt' - j^'ï' (iTiod/> ),
rt" -A'*" (mod/î).
Donc
Mais, d'autre pari,
Donc
aa'a" ^ a^^ ^-« ^ »" ( mod p ).
o^x^-a'^a' ^ ^/. ( inod/? I,
a -h a' 4- a* À | iiiod (yo ~ 1)], ce qui démontre le théorème.
ce qui entraîne
153. Corollaires. — Uindice de la puissance m'^"'^ d'un nombre est congru [mod (/? — 1)] à m fois V indice de ce nombre,
154. L indice du quotient (mod/>) de deux nombres est congru [mod(/? — \)\à Vindice du dividende diminué de rindice du diviseur,
loo. Changement de base, — Soient a l'indice d'un nombre a dans le système de base g^ ol' l'indice du, même nombre dans le système de base g^. On a donc
(22) ^x^ ^'a' (imimI/>).
Soit Y l'indice de g' dans le système de base g. On a
ff'r-^y (nun\p).
Donc l'égalité (22) peut s'écrire
g'^~= ^1^' (mod/>),
d'où
'1% i^' CL [ inod(/> — 1)].
Telle est la relation par laquelle on calculera l'indice a', connaissant rindice a.
En particulier, si a = ^^ on a a= r , et d'autre part a' est Tindice
CllAf, îlf, — DIS C05G1llî£;VC£S,
*le g dans le syslèina de ba^c g^. On a donc la relation
lad g^g^ y<.U\d g*^= i [ mod ( // — i ))*
136* Application à la congnience binôme générale, — Noas allons mainleDaot étudier ia coiigruence binôme générait*
(aî)
(moép)*
Cherchons la condition néressaire el siifjjsante potir qite cetïe congruence ait des solnUons^ et combien elle en a.
Si rt^o, comme nous Tavons déjà dit, la congruence a une ïtoluiion et une seule, j* ^^ a.
Soit maintenant afâu.
Dans ce cas, la considération des indices va nous permettre de ramener TcUide de la congruence binôme à celle d*une con^nituice du premier degré. Prenons en eflet les indices (dans une base quelconque) des deuit membres de la congruence (23); il vient
/i tfid J^^ind ^ I mod (/î — i)j.
Soit 5 le plus grand commun diviseur de n et de /? — i , Si o divise indd, la congruence {^i), dans laquelle on considèi-e înd x comme Tinconnue, a o soin Lion s, el il en est de même de la con* gruence proposée. Si o ne divise pas ind a, la congruence (^4) esi impossible et il en est de même de b proposée*
La condition qu'on vient de trouver^ à savoir que 3 divise indu^ peut s'énoncer autrement. En effet, divisons ind a par Sj soient fc le quotient et r le restCi
îjlil fi — /, ^ Hr- /■ o^ r < 5.
Donc
a^^^r^ (mod/?).
en appelant g la base du sjsttme d'indices.
On en tire
r(p-lt
rsp-l>
{môâp).
Si est un diviseur de iud a^ r est égal à zéro* l\ir suite l'égalité précédente donne
a ^ ^i ( mod p ),
Si au contraire ù ne divise pas ind a, /' n^est pas nul, el comme r est plus petit que S^ on a
Donc
p — l r[p— li
a ^ -g i ^t (mod/>).
Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la con-
gruence
T'^-^.a (mod p)
soit possible^ est que l'on ait
(a5) a - I (mod/?),
en désignant par le plus grand commun diviseur de n et de p — I .
Quand la congruence est possible elle a d'ailleurs solutions.
