DES CONGRUENCES A MODULES MON PREMIERS

Toute solution de la coDgruence(26) est en même temps solution des congruences

(^7> f{x)"Q (mod n'),

(28) /(x)'-.o (mod/i"),

(29) /(x)^o (mod/i'^),

et réciproquement, un nombre solution commune aux trois congruences (27), (28), (29) est évidemment solution de la congruence (26).

Soient

a une solution de la congruence (27),

De

2» on déduit une infinité de solutions de la congruence(27) qui sont congrues à a(mod n'). P » (28) » p(mod/i'),

Y '^ (29) » Y(modn'").

Donc, de a, ^, y, on déduit une solution de la congruence (26) en cherchant un nombre qui soit congru à a(mod n'), congru à P(mod/i"), congru à Y(mod n'"). Les modules n, /i', nf^ étant premiers entre eux deux à deux, on est ramené au problème du n® 116. Ce problème est toujours possible, et la solution est de la forme

5'î i"? ^" étant des nombres déterminés satisfaisant aux conditions

/l'/i'"^' I (mod/i'),

n'^n'\' I (mod n"), n'n'l"'. .1 (mod n"').

et / étant un nombre entier quelconque.

On voit donc qu'il n'y a qu'une de ces solutions (mod n), .\însi de lout système de solutions des trois congruences (27),

(28), (29) on déduit une solution de la congruence (26). D'ailleurs de deux systèmes différents de solutions des trois

congruences (27), (28), (29) on déduit deux solutions différentes

de la congruence (26).

CHAP. m. — »E8 cofiém

En elTel, :ioienL ^M^irri "^^ '^ L^ongruences (5t7),(^8), (ay)^

Jtre «iVstt^Tiic tle solutions de^

On en déduira la solution

et pour que

,rt'rt"*t-+-fii n"

J" + Yi '*' ""£" "*" '^^ '*" ^" "'

les solutions (3o) et (3i) lussent congrues (rood il) U

iViudraît que Ton eût

(*^^,)«''«''r-r(fi-?i)/i"«'r-^-(T-fl)'^''*'î"

d'où

l^niod #1 ),

{a-flrrrrt*r*'"r--(?-?'^''"»'ï"'^U-Ti)'^''»"r^o (iiiadi^;u

ou

Mais on a Donc on aurait

de sorte que % et at, ne seraient qu/uoe même solution de b congruence (s?). De même, [i el ^^ ne seraient qu\uie même solii* lion de la congrucuce (^8): f el Y* ne seraienL qu'une même solution de la congruence (ag).

Conclusion. — Si Ton a trouvé

B âolulions incongrues de la congruence (27J,

on en déduit pqr sohillons incongrues dt> la congruence proposée (26),

167. En particulier, on peut décomposer n en facteurs premiers

rt*, 6^ . . . , A étant premiers entre eu^t deux a dcuit ; on voit t\ue h solution de toute congruence se ramène k celle de congruence^ de la forme

/(^^^o (mod/ï«)

(/> étant un nombre premier).