DES CONGRUENCES A MODULES NON PREMIERS. QQ

168. Maintenant nous allons montrer comment la solution de la congruence (^a) se ramène à celle de la congruence

<33) /(^)^-o (mod/>'^-i),

ce qui, de proche en proche, ramène la congruence proposée à une congruence de module premier.

En effet toute solution de la congruence (82) est solution de la congruence (33). Soit Xq une solution de la congruence (33).

On en déduit une infinité de solutions de cette congruence (33), de la forme

Posons donc, dans la congruence (82)

Y étant une nouvelle inconnue.

Il vient

ou

Tous les termes de cette congruence sont divisibles par p'^~^; soit «0 le quotient de /(^o) par P^~*y on peut écrire la congruence (34)

ou plus simplement

(35) a^'\- yf'{x^)'^o (mod/>).

Si /'(xo) ^ o (mod /?) il J a une valeur de )' el une seule (mod />) satisfaisant à cette congruence. On en déduit pour x, par la formule ^ = ^o-h/^'^"'^» ^^^ seule valeur (mod z?'^).

Si/'(a:o):^ o et que «o ^ o? il n'y a pas de solulion.

Si/'(:ro) =: o et que a^ ^1 o, la congruence (35) est iudélerminée, elle a/? solutions (mod/?), d'où Ton déduit p solutions pour X (mod/>^).