Remarque. — On peut énoncer ce résultat en disant que

191. Maintenant, passons au dernier cas, celui où a est un nombre premier impair. Le nombre p étant lui-même supposé un nombre premier impair, pour plus de symétrie dans les notations, remplaçons la lettre a par la lettre q, La solution du problème repose sur le théorème suivant, dit loi de réciprocité (') :

(') Ce théorème célèbre était connu d'EuIcr, mais Legendre, le premier, l'a

123 riLIP. IT. — HBBTES QUADRATfQlES. CONGRVENCES DU SiCOflïï BECiafi.

Loi HE RitciPftociTÉ* ~ p et tj étant des nomùres premiers impairs difft-rentSj on a

ou encore : Les symboles (^j et (^-j soni égaux, st Van au

moins des deftjo nombres p et q est de la forme ^h-^ t. Ces symboles sont de signes eoniraires^ si les deux nombres p et q sont, tous les deux^ de la forme 4 A — i •

En efiet, p et q étant diirérenls, supposons, pour Cxer les idées j q > p*

Pour trouver la valeur à^ (^-j il faut diviser par q les nombres

Soient

au «,, ,.., «Xi —?u ~Pt, --. -^1

les restes mioima de ces divisions; a,, a^, — • » «x étant les restes positifs, — p,, — pa, . . » . — pjt les restes négatifs. Oo a

De même, pour u-ouver (^] il faut diviser par p les » ombre s

(5) Soient

uq, 2.q, ,.., ,-^'

Ti. Y»^ '"^ Yvi —^1» —^7 '*'* —Su

énoncé cxplidlement, et en a Xçnlé une démonslration. La démonBtralioii de L^gcnHrc est ïncomptéte. La loi de réciprocité it iHi* démonirée pour la prcmîètie fob par Gauss, qui en s donné ^ix démonstrations, ticpuis de nouvelles ont été données par Lejcune-Dincblei^ Kronockpr, etc. Celle» que noua donnons ici sflnt ducs* la première au p^g^leur Zeller, la seconde k Kronecker. Ce sont Je* pluSi simples que nous connaissions.

^Êm

LOI DE RÉCIPIOCITÉ. laS

les restes minima de ces divisions; Yn Ya Y^ étant positifs^

— 8|, — 82, . . ., — Op étant négatifs. On a

On a donc

Ceci posé, considérons les nombres ^. Ils sont plus grands que o et ne dépassent pas • Divisons-les en deux catégories :

1° Ceux qui ne dépassent pas - — ;

2** Ceux qui sont plus grands que ^ •

Je dis que ceux qui ne dépassent pas — — sont identiques

aux nombres y> et que par suite leur nombre est v. En effet, soit hp un nombre de la suite (4) donnant le reste — p, tel que p

ne dépasse pas ^ • On a

d'où (7)

Or on a

et

hp.

= kq~?,

kg .

= hp-^?.

On déduit facilement de ces deux égalités, et de l'égalité (7),

iq 'iq

OU

Le nombre k étant eijitier, ces inégalités reviennent à

o<klP---l.

134 CHAF, n. — RESTEi QrADBATJQtJlS. COIfGEirÉNCEg DC SECOND BCGRÉ.

Donc kq est un nombre de la suite (5), et puisque p ne dépasse pas ^^^ , régalité (7) montre que ce nombre Aq donne comuie

reste minimum p. Ce nombre p est donc égal à un nombre %.

Reciproquementj soit Âq un nombre de la suite (5) donnant un reste minimum positif y, on démontre de la même façon qu'il* y a un nombre hp de la suite (4) qui donne un reste minimum négatif égal k — y.

Les nombres ^ qui ne dépassent pas ^ ~^^ étant identique?^ auic nombres y, leur nombre est égal à v. Si donc nous appelons -j le nombre des ^ qui dépassent — - — on aura

Par suite Tégalité (6) devient

Mai

Donc

Re?*Le à évaluer o-, c^est-à-dire le nombre de fermes de la suite i f ) qiit\ divisés par ly, donnent un reste minimum négatifs

supérieur en valeur absolue à^^^ - Plus simplement, il suffit d*évaluer la parité de ^*

Soit m,p un terme jouissant de la propriété qu'on vient de dire; je dis que le terme

Jouit de ta même propriété.

En efTet, soit

mp ^ rq ^^

on eu déduit

(tj)

LOI DE RÉCIPROCITÉ. i:î5

Pour démontrer ce que nous avons en vue, en ce momenl, il suffit de faire voir que

est supérieur à -^~ > et ne dépasse pas ^^-~' Or, par hypothèse,

Donc on a

OU

ce qui peut s'écrire (en remarquant que tous les termes de ces inégalités sont des nombres entiers)

Rs-JL . - ILlzl 3 ?JZi .

C'est ce que nous voulions démontrer.

Puisqu'à tout terme de la série (4) jouissant de la propriété en question en correspond un autre jouissant de la même propriété, le nombre o* de ces termes est impair ou pair, suivant qu'il y a un terme égal à son correspondant, ou non. Il ne reste donc plus qu'à voir s'il y a un terme égal à son correspondant.

Or écrivons que le terme mp est égal à son correspondant. Il vient

OU

Nous distinguerons deux cas, suivant que q est de la forme 4 A — i ou de la forme ^li-{-\.

I** Si q est de la forme ^li — i , la valeur de m n'est pas entière. Donc il n'y a pas de terme de la série qui se corresponde à lui-

ia6 CHAP, IV, — IRSTCS QUA0HATIQUIS. CONGRUEISCES DU SECOÎTD DlGRt.

même* Donc t est pair. Dodc Inégalité (8) se réduit à

Donc, si de plus p est de la forme \h ■\- 1 ,

si, au coniraire, p est de (a forme ^h — i^

( ~ ) ^'^ f'^) ^^^^ ^^ signes cûnii^aii*es,

%"" Si, maÎDieaaDl, r/ esi de tajonne 4 /t + i , la valeur m = ^^ —

est eniière. Mais il resle à voir si le terme mp répondant â cette valeur de m, à savoir le lerine

donne réellement un reste niiaimum négatif, plus grand que £— - Or on a

<iû)

'-'■-^^Hv-ûh-

Si p est de la forme /j A -h i , les nombres ^ " ^M 7 "" ^ ) 7 sont entiers.

D'ailleurs [7 — -f^\q *^st positif et plus petit que *-* Donc

rëgalité (10) montre que la division du terme 2— — /?, par y,

donne comme reste minimum le nombre positif f-t — ^) Ç"

Donc il n y a pas de terme de la série (4) jouissant de la propriété en question* Donc t esl pair,

Par suite

(Dii)'^-'"''-'-

Donc ( — 1 et {^\ sont égatis.

LOI DB RÉCIPROCITÉ. 137

Mais si p est de la forme 4 A — i , écrivons l'égalité (lo) sous la forme

D'ailleurs le nombre

est négatif, et de valeur absolue plus grande que ^ ■ et au plus égale à 2-I~i .

Donc la division du terme ^— ^ — /?, par gr, donne comme reste

minimum un nombre négatif supérieur en valeur absolue à ^ >

et ce terme est égal à celui que nous avons appelé plus haut son correspondant. Donc o* est impair; donc

Donc ( — j et (2. j sont égaux.

En résumé, il n'y a qu'un cas dans lequel ( — j et f — j soient de

signes contraires : c'est lorsque p Gi q sont tous les deux dé la forme 4 A — i.

La loi de réciprocité est donc démontrée.

192. Seconde démonstration de la loi de réciprocité, — La démonstration précédente est due au pasteur Zeller (*). En voici une autre, non pas plus simple, mais plus concise, due à Kronecker (^). D'autre pari, cette démonstration de Kronecker, est, tout au moins à première vue^ beaucoup plus artificielle que la précédente.

On a

( ' ) Monatsberichte der Berliner Akademie, 1872.

(') Sitzungsberichlc^ 7 février 1884 ; t. II, 12 juin 1884.

laB CHAP, IV. — BÊSTES QUAWRATJQt HS* €OKGBUB>CES DL SEC0?4tl DEGIÊ.

p «.Haut le nombre de restes inipima négalîfs, fournis par les divisions p^^p des termes de la suite

t.y, ti-^i

Sait /ijy un tcrine de celle suile. Le re^te minimum correspondant est négatif, s'il existe un nombre entier A", tel que

du

pt réciproquement. D'ailleuis^ sî le nombre k existe, il e^ï uDique. Les dcLiK inégalités (il) peuvent être remplacées par la seule

inégalilé

ou