IV

\ p qf \p -xq qf

Comme nous Tavons déjà dit, il y a au plus un nombre entier /' satisfaisant à celte inégalité* Ce nombre est d^âilteurs au plus égal

à ^ ^ ^ > car si Ton remplace A par un nombre entier supérieur

h cette quantité, comme d'ailleurs h est au plus égal à '^ ^ '^ ïl est

visible nue les deux facteurs - — -el-- 4-^ sont né^înili^,

I P q p Aq q

et qtie, par soi te ^ leur produit est positif.

Si donc dans rcxpression (12) on fait successivempni

et que Ton fasse le produit des résultats obtenus, on obtient uti résultat

11 \p q! \p ^q ql

qui est posîlil ou négatif, suivant que le reste minimum fourni par la division de hq par/? est lui-méjne positif ou négatiL

LOI DE RÉCIPROCITÉ. 129

Transformons cette expression. Pour cela remarquons que le second facteur 1 peut s'écrire

Quand A* prend les valeurs 1,2,.. , ^ "" > le nombre

prend les mêmes valeurs en sens inverse. On a donc

11 \p'^'^'"q) " 11 \p^ q~~ ^)' OU, plus simplement,

11 \îp'^a^"~9/ 11 \p'^ Ç~~ ^/

De sorte que l'expression (i3) peut s'écrire

Telle est la nouvelle forme de l'expression, qui est positive ou négative, suivant que le reste minimum delà division de hq par p est lui-même positif ou négatif.

Si maintenant dans cette expression on fait successivement

et qu'on multiplie les résultats obtenus, on obtient un produit qui est du signe de ( -) • Ce produit est

.=^^ ..ti

n na-î^)(^î-.i)

i3o CHAP, I¥. — flESTES QLADHATIQIjBS. CONGIUÊMC

On verrait de même que (- \ est du signe de

ri "ff (:-^)(^^.;)

iCOND tIEGRt.

Maïs, dans ce dernier produit, on peul inlerverUr l'ordre des

signes TT, el, de plug, on peul faire un cliaDgemenl de notatiûiis

en remplaçant h par k ti k par A.

Ce p rodait s'écrit alors

Sous eette forme, on voit que les facteurs des produits (ij) €t (i5) sont identiques au signe près. Comme il y a ^ ^ * ? — de CCS facteurs, Tun des produits est égal à T autre multiplié par

( — i) ' * . On a donc bien

ou, ce qui revient au même, ^

ce qu'il fallait démontrer.

193. Application au second problème du tr 177, — Le second problème énoncé au n" 177, à savoir :

Étant donné le nombre a, quels sofit les modules premiers dont a est reste quadratique?

peul être maintenant considéré comme résolu.

Nous allons le montrer sur des exemples*

LOI DE RÉCIPROCITÉ

Exemple I. — Soit a =r — 2.

On a

La valeur de ( — ] dépend du reste de la division de p par 4- La valeur de ( - j dépend du reste de la division de p par 8.

Donc la valeur de l ] ne dépend que du reste de la division

àe p par le plus petit commun multiple de 4 et de 8 (n** H5), c'est-à-dire par 8.

Si /> = 8A-4- I,

donc

Si /> = 8A — I,

Si p= 8Ah-3,

Si/) = 8A — 3,

( — 2) est donc reste quadratique des nombres premiers impairs de la forme 8A-I-1 ou 8/1 + 3; il est non-reste des nombres de la • forme 8 A — i et 8A — 3.

Exemple II : a = i. — Le nombre 3 est de la forme 4 A — i . Donc on a, si /> = 4 A -f- 1 ,