GO
(i)=-rr)
dans les deux cas Donc
dans les deux cas.
Or f ^ ji ( - ) * (-) dépendent, respectivement des restes des divisions de p par m^ rf^ i\
Donc (' J ne dépend que du reste delà division dejo par le plu^
petit commun multiple de m, */, r (n*113), lequel est ici leur produit ou a.
Donc les nombres premiers impairs dont a est reste quadratique appartiennent à des progressions aritlimcHiques de raison a>
3" Supposons maintenant aposili/ei de la forme ^h — i , ce
LOI DE RÉCIPROCITÉ. l35
qui entraîne que les facteurs premiers de a sont impairs et qu'il y
en a un nombre impair de la forme 4 /* — i •
Soit, par exemple,
a = mqr^
m étant supposé de la forme 4 A — i , gr et r de la forme 4^-1-1. On voit facilement que
si p est de la forme ^h -{- \^ et
sî p est de la forme 4 A — i •
Donc / - ) ne dépend que du reste de la division de/> par le plus
petit commun multiple des nombres /w, q^ r, 4» lequel est leur produit 4«.
Donc les nombres premiers impairs, dont a est reste quadratique, appartiennent .à des progressions arithmétiques de raison 4^.
3** Soit a positif pair et de la forme i{^h -\- \),
Soit, par exemple,
a = a mqr^
m de la forme 4 /* 4- « , gr et r de la forme /\h — \,
d'où l'on tire facilement, comme plus haut,
fô-(-;)œ(f)(?>
Or ( ~) dépend du reste de la division de p par 8.
\r \~r {/ dépendent des restes des divisions de p par m^ q, r.
Donc ( - ) ne dépend que du reste de la division de/? par Smqr ou 4a,
1^6 CUAP* IV. — RESTES QMIi1lATlQi£$, COXGRtîKKCES DIÏ iECOND DCGRll*
Donc les nombres premiers impairs dont a est reâlè quadra- Ijqiiê appfirtiennent à des progressions arillimétiqiies de raisaii
On examine de même tons les aulres cas \a posllif pair de la forme 2(4 A — i), ou a négatif].
195- Calcul de t expression l-\ quand p est un granti fiomùre. — La loi de réeîprocilé sert aussi a simplifier le calcul (le Texpresâion ( - \ quand p est un grand nombre.
Ewempte. — Calculer (— ij*
Oaa
Or
et
DODC
§ III. — Généralisation du symbole dô Legendre $3^inbole de Jaoobî.
196. On peut simplifier quelques-uns des résultais pr<5cédeol*»
[jar une généralisaiion du symbole de Legendre due à Jacobi.
Le sjTJibole de Legendre f - 1 n'a de sens que si /ï esl un nombre premier impair.
Supposons maiolenanl que/* soit un nombre impair quelconque et que a soil un nombre premier UK^ec p* Le lemme du n** 185 îîubstsle, celui du n^ 186 ne subsiste pas. Mais régalité démoûlréc dans ce lemme
tx étant le nombre des restes minîma négatifs fourois par les dtvi-
SYMBOLE DE JACOBl. 187
sions des nombres a, 2a, . ., ^^—a par /?, peut alors senîr de définition au symbole ( — )•
De celle définilion, on déduit, comme dans le cas de p premier :
1" Les théorèmes exprimés par les égalités
2° La loi de réciprocité
3" Le théorème exprimé par V égalité
subsiste aussi.
Pour le démontrer, faisons d'abord les deux remarques évidenles suivantes :
1" Le symbole i-\ est du même signe que le produit des
restes minima négatifs fournis par les divisions des nombres
/i, 2/t, ^"" /i par p.
2** Deux nombres égaux et de signes contraires donnent des restes minima égaux et de signes contraires.
Ceci posé, soient les restes minima fournis par les nombres
a,, «2,. . .,ax élan lies restes minima positifs, — ^i, — ^j,. . . , — ^^ les négatifs, de sorte que
j38 CIIAP, J¥, — RESTES QtUI>RÂTIQiKS. tOHGRtJENCES DU SECOKO l>€Gatï.
Pour calculer (^J^ il faut d'abord chercher les resies minima fourDis par
Mais pour ce!a on peut, dans ces produits, remplacer les fac* leurs a^ a a, .* ., — — ti par leurs restes mioima* On trouve ainsi la suite (à Tordre près)
(Fil) %^ft\ 34 à\ ..., axa*; —pi a',
Si Ton compare cette suite à la suite
a , la
qui servirait à calculer ( — ji les nombres
3tit «1 3ti, Qi, j3î. ..
ëtaui identiques, à Tordre près, aux nombres i, 2, .,,j
le produit des termes de fa suite (t6) est égal au produit de* termes de la suite (17) multîpliif par ^ — i)ï*. Donc
197. Enfin, voici une dernière propriété exprimée par Pégiêlité suivante
\ppY..J -{p/ip'/ip")
Pour d(?montrer cette propriété dans sa généralité^ il suffit évidemment de la démontrer pour deux nombres p et p'
{^xm)-
SYMBOLE DE JACOBl. iSq
Or, on a, d'après la loi de réciprocité,
D'autre part,
L'égalité à vérifier devient donc, si Ton y remplace (—7)' ( -) et ( — ;) par leurs valeurs tirées des égalités (18), (19), (20), puis ( — j par sa valeur tirée de l'égalité (21),
;>— I rt — I ;»' — 1 ft — i PP' - ^ <T— I
OU
rt~l ( /> — 1 ) ( p' — 1 ) (-1) * * î -.1.
Or les nombres a,/?, /?' étant tous les trois impairs, cette égalité est évidente.
198. En particulier, supposons qu'un nombre P soit décomposé en facteurs premiers sous la forme
on aura
( - U (-1)9 • • • sont alors des symboles de Lcgendre. De sorte que cette égalité peut servir de définition au symbole de Jacobi(^)(-).
( 1 ) C'est d'ailleurs cette définition que Jacobi a donnée. La définition du n* 106 est due à Schering et Kronecker.
I^O CHAP. lir. — RESTES QUADRATIQUES. COTïGBtEKCES BU SECOND DEG»Ê,
On dédnii aussi de celle égalité la conséquence suivaiHe: Pour ffuUin nombre a soit reste qmtdran'c/ue d'un nombre impair l\
premier a^ec luiy it faut qtte (n) ^oit égal it -f-i. En elTeli
(voyr que a soit reste ciiiadraliquc de P, il faut et il suffit qu'il soil reste quadratique àe p^ p\ p^\ . . , , U faut donc que Ton ait
d'où
^lais la condition (^\^\ n'est pas suffisante, car elle n'entraîne pas les conditions (:^3).
199. Applîeadon. — Comme premiiVe application du symbole de Jacobi, on peut simplifier le calcul du n"* 193. On écrira
\mi) ' \3«V ' U<35; " \,-i67y " \î67; " U67/ Ur>7A
Or
parce que 267 est de la forme 8/< + 3 i
parce que 49 <?st un carré.
Donc
200. Le théortimr du u** 104 et sa démonstration s^élendent immédiatemenL Le. nombre a vtanl supposé non divisibie par an carré différent de i, les nombres impairs p^ tels yiit*
-hi,
RfiSOLDTION DE LA GONGRUENCE DU DEUXIÈME DEGBÉ A UNE INCONNUE. l4l
appartiennent à des progressions arithmétiques de raison a ou 4«-
Il y a d^autres applications du symbole de Jacobi, que nous n'aborderons pas ici.
§ IV. — Résolutioii de la congruence du deuxième degré à une inconnue.
