CHAPITRE V

LES NOMBRES ÎNCOMMENSUKAUiES.

§ I, — Définition des nombres incommensurables. Opérations sur ces nombres,

âOi* On a vu, dans les Chapitres précédents, comment l^usage (les nombres fractionnaires facilile Télude des nombres enlierj*.

Le nombre fractionnaire n*est d'aillenrs qu*on symbole représenlatif du système de deux nombres entiers.

Dan^ ces condîliopSf il vient natureUement à l'espril d'introduire dans les calculs des nombres représentatifs d'un système dr jf rois nombres entiers, oti d\in système de quatre nombres enlier* cl ainsi de suite* Nous tronverons plus loin de tels nombres, sous le nom de nombres algébriques dn second, du troisième, etc, degré* Mais ces nombres ne jouissent pas, par rapport aux opérations fondamentales, do propriétés aussi simples que les nombres entiers ou fracliounaires. Us ne se reproduisent pas par ces opérations, c'est-à-dire que la somme ou la produit de deux nombres algébriques du second degré, par exempte, n'estpas, 'en général^ lin ntimbre algébrique du second degré, maïs bien \\n nombre algébrique du quatrième degré.

Nous nous trouvons donc amenés à introduire à la fois les nombres algébriques de tous les degrés.

Mars ces nombres ne sont eux-mômes qu'un cas partîctdier de nombres dépeudauL d*nnc suite infinie de nombres entiers et qu'on appelle nombres incommensuraùies, par opposition aux nombres entiers et fructionn aires, dont Teusenible forme ce que I on appelle k*s nombres commensurabtes. Il n'est d'ailleurs pas plus compliqué d'expliquer le calcul de ces nombres iacominensurables en général que celui des nombres al^ébriqueSi Ce som

DÉFINITION DES NOMBRES INCOMMENSURABLES. l45

donc les nombres incommensurables dont nous allons nous occuper maintenant.

205. Montrons d'abord comment un nombre commensurable peut, lui aussi, être considéré comme dépendant d'une suite infinie de nombres entiers.

Il suffit de considérer les valeurs approchées de ce nombre successivement à une unité, un dixième, un centième, etc. près par défaut. Les numérateurs et les dénominateurs de ces valeurs approchées sont parfaitement déterminés quand on connaît le nombre qui leur a donné naissance, et réciproquement. On a donc bien là une suite indéfinie de nombres entiers, dont la connaissance est équivalente à celle du nombre commensurable proposé.

Au lieu des valeurs approchées par défaut, on pourrait considérer les valeurs approchées par excès.

Au lieu des valeurs approchées à un dixième, un centième, etc.

près, on pourrait en considérer d'autres : les valeurs à — » ~-^y • • près, par exemple; ou, plus généralement, les valeurs à — > ^,,

^y ••• près, par défaut ou par excès, — > -7» A> ••• étant une

suite déterminée de nombres tendant vers zéro.

Comme tout nombre commensurable peut être considéré comme une valeur approchée à une certaine approximation de tout autre (*), ce qui précède revient à ce lait évident que, lovsqu! un nombre commensurable est déterminé, tous les nombres comniensurables plus petits que lui, et tous les nombres commensu râbles plus grands le sont aussi, et réciproquement.

C'est cette idée qui va servir dans la définition des nombres incommensurables.

206. Définition, — Supposons qu'une certaine règle permette de partager la totalité des nombres commensurables, positifs et négatifs, en deux classes, de telle façon que n importe quel nombre de la première classe soit plus petit que n^importe quel nombre de la seconde.

(' ) A condition que le premier nombre soit plus grand que la moitié du second. C. 10

I 56 ClIAP, V. — LE^ ?iOilttKES INCOMHOSMTRABLES.

DeuTt cas se [yrésciileiiL :

i'' Si, parmi les noïnbres cûmmen^unïbles de la première claijîe. il en exisle un plus grand qnc tous les autres, ou si, parmi le? nombres Lunimensurables de la seconde classe^ il çuexisle un plu* petit r|ue huis les au 1res, on (leuL dire que la classîfiCâLÎoo i*ji question tlèjinit ce no mûre commensurablff. Il est d* ailleurs <H'ideni que ces dcu\ circonstances ne peuvent se présenter à b fois,

1^ Si aucune des deux cîri'onstances précédentes ne se présenie. on peut dire que la elasâiflcation définît un noiulîre incommensa* rabie.

Les deux cas peuvent cflecti veulent se [>r(^scnler. Pour réaliser le premier, il sulllt de choisir à Tavance un nuiubre commen^u-

rable — j de ranf^er tous les nombres cômmensurables inférieur*

a — dans la iiremicre classe, tous les nombres commensurabl€^

su|)éricurs dans la seconde classe, et enfin de |>lacer — dans I0 classe que Ton veut,

Pour réaliser le second cas. soîl — un nombre commensurfiblf

positif, non carré parfait; rangeons dans la première classe tou^i les nouibiTs couîmcnsurables positifs dont le carré est inféricuT

à — \ dans la seconde classe, tous ceux dont le carré est supérieur

a -• Il try n pas, dans la première classe, de nombre supérieur

à tous les autres* En eflTet, soit a un nombre quelconque de h première classe: on a

Mai;? il existe (n" tîl) des nombres commensurables dont le

carré didère |iiir défaut de — d'aussi peu que Ton veut; on peut

donc trouver un nombre comincnsurable positif a' tel que a'^ < —

(et par conséquent fi' appartiendra à la [uemière classe)^ maïs tel que