DÉFINITION DES NOMBRES INCOMMENSURABLES
Or celle inégalilé enlraine
Donc il exîsle dans la première classe des nombres plus grands que a.
On verrait de même qu'il n'y a pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres.
Donc la classification en question définit un nombre incommensurable.
207. Égalité, Inégalité, — Deux nombres (commensurables ou incommensurables) sont égaux lorsque les classes qui les définissent sont identiques. Ceci est évidemment vrai pour les nombres commensurables; et c'est une définition pour les nombres incommensurables.
Un nombre a est plus petit qu'un nombre 6, lorsqu'il y a des nombres commensurables appartenant à la fois à la classe supérieure à a et à la classe inférieure à b ; ceci est encore une définilion pour les nombres incommensurables, tandis que c'est une propriété, d'ailleurs à peu près évidente, pour les nombres coniiT)ensur£d)les.
Les nombres plus petits que o sont dits négatifs.
On voit facilement que les égalités a = h^ b = c entraînent l'égal i lé a = c.
Les inégalités a >• 6 et 6 >• c entraînent l'inégalité a^ c.
En particulier les nombres commensurables faisant partie de la classe inférieure à un nombre incommensurable sont plus petits que lui; ceux qui font partie de la classe supérieure sont plus grands que lui.
208. Montrons, mainlenanl, comment on peut faire dépendre les nombres incommensurables d'une suite infinie de nombres entiers, ainçi qu'on Ta dit plus haut (n'*203). On y arrive, comme pour les nombres commensurables par la considération des valeurs approchées.
209. Valeur approchée dUin nombre incommensurable, — On appelle valeur approchée d'un nombre incommensurable Oj
GHJLP, V. — LES JYQMBRFS IHCOSlttENStritADUS.
à £- près (^ étant un nombre commensurable]f te plut grand multiple de — qui sait contenu dans ce nombre.
Autrement dit, trouver eetla valeur, c'est trouver un nomtrf* eatier m tel que
Autrement dît encore, c'est trouver un nombre entier wi, lel ciue ^ soîtdauâ la cksse inférieure à a, el -^ ---- dans la classe !>upérieure.
Plus — est petîl, plus rapproximatîon est iiie grande.
il est bien évident que lor&qu*uu nombre esl dcterminéj parla division des nombres commensurables en deux classes, ses valeurs approchées à n'importe quelle approxïmâtioii son! connues^ Réciproquement :
Un nombre a est déterminé lorsqu^on connaît sa vahur approchée à une approximation aussi grande que l'on veut^
En effet, soit — ? la valeur approcbéc de « à moins de -- près. On îk
Soit »{ un nombre commensurable. Si Ton a aussi
to
quelque petit que soît —^ cek veut dire que et = a,.
Donc m est alors déterminé.
Si les inégalités (t) n*ont pas lieu pour routes les valeurs de ^^ c'est qu*il y aura des valeurs de ^ suffisamment petites pour que ai
soit en dehors de rintervalle de — iî 'J!Lill2/l. Q» peut donc décider si «, est plus j^rand ou plus petit que a. On a doue une
OPÉRATIONS SUR LES NOMRRES INCOMMENSURABLES. l49
classification des nombres commensurables en deux classes qui définit a.
210. Valeurs « », 75, -pio» TôW? • • • P^^^* — ^^ définit en général un nombre, en donnant ses valeurs à une unité, un dixième, un centième, etc. près; c'est ce qu'on appelle, son développement en décimales,
211. Définition des opérations effectuées sur les nombres incommensurables. Addition. — Soient deux nombres incommensurables ou non, a et b.
Rangeons dans une première classe C les nombres commensurables qui sont la somme d'un nombre commensurable plus petit que a et d'un nombre commensurable plus petit que 6; dans une seconde classe G les nombres commensurables qui sont la somme d'un nombre commensurable plus grand que a et d'un nombre commensurable plus grand que b. 11 est bien évident que tout nombre de la classe C est inférieur à tout nombre de la classe C
Il est, de plus, évident qu'il n'y a pas dans la première classe C de nombre plus grand que tous les autres, ni dans la seconde C de nombre plus petit que tous les autres.
Si donc, de plus, aucun nombre commensurable n'échappe à cette classification, cette classification définit un nombre incommensurable c, qui, par définition, est la somme de a et de 6.
Mais il peut se faire qu'un nombre commensurable échappe à cette classification. Je dis, en tout cas, qu'il n'y en a qu'un. En effet, supposons qu'il y en ait deux, aetp(a< P). On voit facilement que, a n'étant pas dans la classe C, il en est de même de tout nombre commensurable supérieur; de même, ^ n'étant pas dans la classe C, il en est de même de tout nombre commensurable inférieur. Donc tous les nombres commensurables compris entre a et p échapperaient à la classification, et par suite un nombre quelconque de la classe Gdifi'érerait d'un nombre quelconque de la classe C d'au moins p — a. Mais cela n'est pas.
En effet, on peut prendre un nombre commensurable inférieur à a et un nombre commensurable supérieur à a, qui diffèrent entre
eux de moins de Ensuite on peut prendre un nombre com-
|5o m AV. V. — LES ^aMHRES IKCOMlEtSStKABLfiS.
mensiirable inférieur à 6 et un nombre commensurable supérieur
qui diffèrent également de moins de^-*On en déduit un
nombre de la classe C el un nombre de la classe G qui diflTèrenl de moins de ^ — a.
Dans le cas où il existe effectivement un nombre comracnswrable e, n'apparlenanl ni à la classe C, ni â la classe C\ c'est ce nombre c qui est dit la somme de a et //.
C*est ce dernier cas qui se présente en particulier lorsque a et f' sont eux-mêmes commensurables, et il est évident que la somme ainsi définie est le même nombre que celui qu'on enteodaii jusqu^à mai a tenant sous ce nom.
La somme de plus de deux nombres a, b^c^d se définit comme pour les nombres commensurables* Les deux classes qui définissent cette somme peuvent s'obtenir en additionnant d'une pari les nombres coinmensurables inférieurs à a, 6, r, </, d'aulre part les nombres domniensurables supérieurs. Il en résulte évidemment que cette somme est indépendante de Tordre des nombres que fôn ajoute.
212. Soustraction. — On appelle différence de deux nombres a, b le nombre qui, ajouté à //, reproduit a.
Pour trouver ce nombre il suffit de placer dans une classe C, les nombres commensurables obtenus en retranchant un nombre coin* mensurable supérieur à 6, d'un nombre commensurable rnférîeur ka\ et dans une classe C les nombres commcnsu râbles obtenus en retranchant un nombre commensurable inférieur à i, à\\n nombre commensurable supérieur à a. Le lecteur démontrera facileoicnt^ comme dans lentiméro précédent, que cette classification satisfait aux conditions fondamentales; el qu'il j a au plus un nombre commensurable c qui puisse y échapper. Si cette dernière circonstance ne se présente pas, la classification définit un nombre incommensurable^ sinon on peut dire qu'elle définit c. En tout cas, le nombre qu'elle définit est tel que tous les nombres commensurables inférieurs à lui, ajoutés aux nombres commensurables inférieur* à b, reproduisent les nombres incommensurables inférieurs à ci, cl que les nombres commensurables supérieurs à lui, ajoutés au% nombres commensurables sufié rieurs à 6j reproduisent les nombre»
OPÉRATIONS SLR LES NOMBRES INCOMMENSl RABLES. I^I
commensurables supérieurs à a. Donc la somme de ce nombre et de b est égale à a. Donc ce nombre est la différence entre a et h. Le lecteur verra sans peine que les théorèmes fondamentaux sur Taddition et la soustraction, qui se résument dans les règles d'addition et de soustraction des polynômes, s'appliquent aux nombres inconunensu râbles.
213. Multiplication. — Pour définir le produit de deux facteurs a, h (supposés positifs), nous rangeons dans une première classe C les nombres commensurables qui sont le produit d'un nombre commensurable plus petit que a par un nombre commensurable plus petit que b ; et dans une seconde classe G' les nombres commensurables qui sont le produit d'un nombre commensurable plus grand que a par un nombre commensurable plus grand que 6. Le lecteur achèvera sans peine le raisonnement qui est analogue à celui que l'on a fait pour l'addition.
Dans le courant de ce raisonnement, pour démontrer qu'il ne
peut y avoir deux nombres commensurables, a et p, échappant à
la classification, on est amené à démontrer que : on peut trouver
deux nombres commensurables «1,61, respectivement inférieurs
à a et 6, et deux nombres commensurables a, , b\ respectivement
supérieurs, tels que
a\b\ — axbx
soit plus petit qu'un nombre ^ — a.
Pour cela, il suffit de remarquer qu'on peut écrire
a, fej — ai6i=: {a\ — ai)l)i-^ (b\ — bi)ai-^ {a\ — ai)(b\ — b^).
Pour que le premier membre soit plus petit qu'un nombre p — a, il suffit que chacun des termes du second membre soit plus petit
que ^"7" - Il suffit pour cela, d'abord, que a'^ — ai eib\ — 6| soient *plus petits respectivement que '^ "7 " et ™ — > et ensuite que ces deux nombres a\ — a, et b\ — fr» soient tous les deux plus petits qu'un nombre dont le carré soit inférieur à ^-r — > toutes conditions qui peuvent être réalisées.
Nous avons supposé les facteurs positifs, sinon on ferait le produit de leurs valeurs absolues et l'on suivrait la règle des signes.
CHiP, V, — LES .NOMBRES [SCOMMËSSIHA&LES»
Si Vnn des Hicleurs esi oui, le p^ocloît est nul par définiiion. Le produit (Je plusieurs facteurs «, ùjCesl le nombre obtenu en multipliant a par In puis le résultai parr, el ainsi de suile. Le lecleur démontrera facilemenl que ce produit est indt^pendant de Tordre des fadeurs. Il verra aussi que, pour mulliplier un nombre par la somme de deux autres, il suflU de le multiplier successiveinenl par chacun des termes de la somme el d'additionner les résullals. Ces deux tbëort^mes permetlenl dVtendre aun nombres inccimmensurables, les* rrgles rehaive^ au\ produits de facteurs, à la misr en facteur commun et aux produits de polynômes*
211* Divisioft. — Pour di^finir le quotient d'un nombre a pjr un nombre b [a el ù étant supposés positifs)^ on riinge dan^ unt* première classe C les nombres commensurables qui sont le qootient d'un nombre commensurable plus jjetitquea, par un nombre commensurable plus ^^rand que 6; et drjns une seconde classe C, les nombres commensu râbles qui sont le quotient d'un nombre commensurable plus grand que «, par un nombre încommensurabb^ plus peiil que ù. Le raisonncinent se fait comme dans les cas précédents.
Dans le courant de ce raisonnement on est amené à dëmuulrei que Ton peut trouver deux nombres commensiirables ai» fti respectivement inférieurs à a et £>, et deux nombres comme^surabIe^ a\j b\ respectivement supérieurs tels que la quantité
soit plus petite qu'on nombre ^ — 7.
Or cette quantité peut s'écrire
o\ b\ — djôi
fMb\
Soit B un nombre plus pelit que b\ on peut choisir b^ de façon qu'il soit plus grand que B.
Quanta b\^ il est nécessairement plus grand que B. Donc la quantité précédente est plus petite que
a\b\'-ntb%
OPÉRATIONS SUR LES xNOMBRES INCOMMENSURABLES. 1 53
Pour que cette quantité soit plus petite qu'un nombre ^ — a il suffit que le numérateur «', fr', — ai b^ soit plus petit que (^ — a)B2 ; or nous avons vu plus haut que cela pouvait être réalisé.
D'ailleurs le quotient ainsi défini, multiplié par b^ donne un produit égal à a.
215. Extraction des racines, — Pour définir la racine n*'"*^ d'un nombre a nous partageons les nombres commensurables en deux classes, ceux dont la puissance /i*"^""* est plus petite que o, ceux dont la puissance n}^^^ est plus grande.
On démontre qu'aucun nombre commensurable n'échappe à celle classification, excepté un seul, si a est un nombre commensurable puissance /i'^*"® parfaite. Donc celte classification définit un nombre a. Reste à démontrer que la puissance /i'*"™* de a est égale à a. En efiet, si un nombre commensurable est plus petit que a, sa puissance n*^"* est plus petite que a. Donc, si l'on forme la division des nombres commensurables en les deux classes qu'il faut former pour définir la puissance /i''"* de a, on retrouve les deux classes qui définissent a.
En particulier, on définit ainsi, dans tous les cas, la racine n»*"'* d'un nombre commensurable «, ce qui n'avait pu se faire au moyen des nombres commensurables seuls (n** 56).
216. Nous avons donc défini les opérations fondamentales sur les nombres incommensurables (•), mais il reste à montrer comment on les réalisera effectivement. 11 faut pour cela remarquer que dans la pratique on définit un nombre incommensurable par une suite indéfinie de valeurs approchées avec une approximation de plus en plus grande (n° 209). Il faut donc montrer comment, de pareilles suites relatives à certains nombres étant connues, on peut en
(') Nous admettons implicitement, qu'un certain nombre de théorèmes, évidents ou démontrés pour les nombres commensurables, sont vrais aussi pour les nombres incommensurables.
Pour n'en citer qu'un exemple, nous admettons, dans la démonstration du n» 217, le théorème suivant :
Si des nombres sont respectivement plus petits que d'autres, la somme des premiers est plus petite que la somme des seconds.
Toutes ces démonstrations sont très simples, nous n'avons pas cru nécessaire de les donner {voir l'Introduction).
trouver d^autres relatives à la somme, à la difl'ërcnce, au produit, etc., de ces nombres.
Pour cela nous ferons usage des considérations «suivantes :
217. Définition générale de la limite. — Maintenant tjiie ' nous savoïiî; ce que c'est que la diATcrence de deu\ nombres
incommensurables, nous pouvons généraliser la définition de limite, donnée au n" 62 pour les nombres conmieusurables. Celle définition s'applifjuCj mot pour mot, au^ nombres iocummensiirâbles.
En particulier, si Ton calcule les valeurs dun nombre à ^, j^.
-~p, etc. près par défaut, plus généralement à ^, f\^ ^\* — - par
♦ 1. « lis
défaut, ^ 'y-;* ^* ■" iendunt vers zéro, on obtient une suilc de nombres co m mensu râbles qui tendent vers €t,
218. Il faut mainlenîjnl remarquer qu'on peut généraliser le «béorème du n° 209 el dire quV//ï nombre est déterminé quand on connaît une suite de nombres qui tendent vers lui. Celu est évident, car de la définition méjne de h» limite ii résulte qn^uor suite de nombres ne peut tendre que vers une seule limite.
Or on a les théorèmes suivants :
Si des nombres tendent vers des limites, la somme de ce» nombres tend vers la somme des limites de ces nombres.
Soient des nombres vari;ibles (V, b, c tendant vers des limiter A, B, C. Je dis que a -h b -^ c tend vers A H- B -j- C. En efTci, on m
( A H- U -H G) — \a -^ù ^- o) ^ ( A — ff) 4- ( H — />) -*- ( C — cr). Donc, pour que la valeur absolue de la difrérence
sojt plus petite qu^urj nombre donné i, il suffit que lu valeur absolue de chacune des différences A — a. B — //, C— c soiî phi^
petite que -• Or c'est ce qui arrive et subsiste à partir d'un cerUtei moment*
On a un théorème et une démonstration analo^Mies pour b différence de deux nombres.
OPÉRATIONS SIR LES NOMBRES INCOMMENSURABLES. l55
Si des nombres tendent vers des limites, le produit de ces nombres tend vers le produit des limites.
Il suffit évidemment de démontrer ce théorème pour un produit de deux nombres. Or, pour cela, il suffit de remarquer que
AB — a6 = (A — a)^-f (B - b)a-\- {X — a){B — ù).
Pour que la valeur absolue du premier membre soit plus petil que £, il suffit que la valeur absolue de chacun des termes du
second membre soit plus petite que 77 ; et pour cela, enfin, il suffit
que les inégalités suivantes soient satisfaites :
Or ces inégalités peuvent avoir lieu et subsister. ^
Nous n'énoncerons ni ne démontrerons les théorèmes analogues, relatifs au quotient, aux puissances, aux racines, aux exposants incommensurables. En définitive, le lecteur voit qu'on est ramené à la théorie connue sous le nom de théorie des limites j qui est traitée dans tous les cours d'Anal^^se. Cette théorie ne fait plus partie de la théorie des nombres, c'est pourquoi nous n'j insistons pas.
2i9. Celte théorie, appliquée au calcul des nombres incommensurables, nous donne le résultat suivant : Pour effectuer un certain calcul, composé d^additions, soustractions, multiplications, divisions, élévations aux puissances, extractions de racines sur des nombres incommensurables , on effectue le même calcul sur les valeurs approchées de ces nombres, pour des valeurs de plus en plus grandes de C approximation, et Von obtient une suite de résultats définissant un nombre qui est leur limite, et qui est le nombre cherché.
Nous terminerons par les ihéorémes suivants^ qui sont d^unt' application constante :
220, Théorème. — Si une sm'ie indéfinie de nombres
esi telle que chacun d^eujo soit supérieur ou égal au précédent; si, de plus, un (jiif^lconque de ces nombres est plus petit qu'un nombre dé terminé A, ces nombres tendent vers une limite inférieure ou égale à A.
En effet, classons les nombres comme nsii ru blés de la façon suivante ; Dans là classe inférieure C^ nous plaçons les nombres a. tels que, dans la suite
a,, ait •.*? «fl» -M
îl y ait des termes pins grands que a, Dan;^ la classe supérieure C. nous plaçons les nombres fij lels que dans la suile
il n'y ail pas de terme plu?; ^rand que P-
Il C!5l évident tju'aucuu nombre commeusiirable nVcbappe Jt cette classification, et que d^ailleurs cette classIOeiUion satisfait a loute» les autres conditions nt^cessaires pour qu'elle définisse un nombre. Soit « ce nombre. Je dis que les ierraes de la suite
tendent vers a.
En effet, soit b un nombre appartenant à la classe C, 6' un nombre appartenant ii la classe C\ On a
Mais quel que soit le nombre posiliCs^ on peut trouver les nombres b cl y tels que
et d'ailleurs on peut trouver un terme n^i tel que
On a alors
a — a,4 < rt — 6 < A' — è < f *
mm
OPÉRATIONS SUR LES KOMBRES INCOMMENSURABLES. iSj
Donc les termes de la suite
tendent vers a.
Il est d'ailleurs impossible que cette limiter soit supérieure à A, car si cela était, comme il y aurait des termes de la suite
«1, aj, ..., «fl, ...
qui différeraient de a de moins de a — A, ces nombres seraient supérieurs à A, ce ^ui est contre Thypothèse. On démontrerait de même que :
Si une suite indéfinie de nombres est telle que chacun d'eux soit inférieur, ou égal au précédent ; si, déplus, un quelconque de ces nombres est plus grand qu^un nombre déterminé A, ces nombres tendent vers une limite supérieure ou égale à A.
