Dans ces théorèmes les nombres

ai, «î, ..., a m ..•

sont commensurables ou non. Dans la théorie des nombres, ce seront les suites de nombres commensurables qui joueront le plus •;randrôle; par exemple, la suite des valeurs approchées par excès, ou celle des valeurs approchées par défaut, d'un nombre, à une approximation décimale de plus en plus grande (*).

Dans le Chapitre suivant, nous allons étudier d'autres suites du même genre : celles qu'on obtient par le développement d'un nombre incommensurable en fraction continue.

( ' ) La déGnilioo des nombres incommensurables qui fait l'objet de ce Chapitre ; ou des déGnitions analogues ont été données par MM. Catalan, Bertrand, Méray, Lipscliitz,duBois-Heymond,Canlor, Dedekind, Heine, Weierstrass, Tannery. Elle a étéexposée par M. Tanncry dans Ylntroduction à la théorie des /onctions d'une variable (Paris, Ilermann) et dans ses Leçons d'Arithmétique (Paris, Armand Colin ). Dans ce dernier Ouvrage, le lecteur pourra trouver plus de détails sur quelques points très simples, sur lesquels nous n'avons pas cru devoir insister

rniP* V. — LES miHBflKS IKCOllKKBUllABLrS»

I II- — Développement des nombre» incommensurables en fractions continues.

222, Revenons d'abord sur ce que nous avons dit (Chapitre II, S V) du développenient en fraction continue d'un nombre coni*

jncnsurabh*, et Taisons les remarques suivantes:

Lorsqirun nombre coinmensurable Jt est développé en fraclioii

<.:unUnue

j* = (ïj -^

ai"h

// , f'U ie p lu s g ra n ci e n ( ie r co n i en u da n ^ jc ;

a^ ie p/as ^rnnd entier contenu dans — — ■*

D'une façon ^^f^nérate, soil ~ In /**^™" rrduîte

Posons

,t pij:f, sont liés par la relalîon

fin

iVmi

*ih^\ ^st ie plus grand entier conienu dans .r^*

IjCs nombres «i, ...^ rr,^ sont positifs, exee(»tc le premier *]uî peut être nul, ou même négatif sï le nombre x est négatif*

^23* Sott mainlenynl un nijmbn? îneotnniensyrable *r. On peut déterminer des nombres unlicrs «,, rr^,, .., par los» mômes conditions, à savoir :

«t ^st le plus grand entier contenu dansœ\

Oi eu le plaâ grand entier contenu dttns