DÉVELOPP. DES NOMBRES INCOMMENSURABLES EN FRACTIONS CONTINLKS. I

D'une façon générale, ayant calculé a^, a^^ . . -^ Oh-^ soit

on calculera Xk par la relation d'où

Q^^a-hQa-i

et l'on prendra pour «a+i le plus grand entier contenu dansxk» Mais cette suite de nombres «i , r/j, » - .est illimitée, car, sinon, on obtiendrait une fraction continue limitée, égale au nombre incommensurable x^ ce qui est absurde.

Les nombres entiers «i, a 2^ ... étant ainsi parfaitement déterminés, je dis c\\\Uls sont positifs, excepté «1 qui peut être nul, ou même négatif si x est négatif.

Pour le démontrer je remarque que des égalités

Qa^— Pa , [h^ljL

on lire en éliminant x

Qx-i^PA-hi^Avi-t-PA)— Pa-i(Qa-^iJ^h-Qx)

xu= -

Qa(Pa-hixa-^, -h Pa) ~ Pa(Qa>i^ -4- Q/ )

Or les quantités P>t, Qa, «a satisfont évidemment aux mômes relations de récurrence que dans les fractions continues limilces, c'esl-à-dire aux relations

Pa^i ^ Pa«a+iH- Pa-i,

Qa^i ^ QAaA+l-H Qa-1

et à la relation

PaQa-1- Pa-i Qa = (-!/.

Donc on peut écrire

OU cnUfij en remplaçant 1\^,, ei Qa^.» |*ar leurs valeurs.

Or, «A+i étant le plus grand enliercoolcnu dans ^At ceci montre que 7 — est compris entre o el i . Donc j-a+i ^st plus grand que i . Donc ait^2 esl positif,

22 i. Conclusion, — A un tt ombre incommensurabîé x donné, correspond donc une suite de nombres entiers par/ai terne ni déterminés «t, a^, , - . donnant iieti a une suite de réduites

Tt'

Le tli<^orènie suivent monïre que ces rt^duites Icndcnl vers ^,

225. TuÉOHKME* — Etant donnée une suite indéfinie quetcomjue de nombres entiers positifs (U- "2. .♦-. "' f*on formr tes réduites *

Pf 1

I** Cej réduites tendent vers une limite x; 'À^ Si fo n app liq ue a ce nomùt e x le p / m v t ' dé p r éc éde ni ^>ti retroui^e les nombres ff^, a.^, . , . :

3* j: est incommensurable.

En effet : î ' nous avons vu (n** 94) que, quelque loin qu^oo pousse le calcul, les /éduiles de rang impair vont en çrotssant

et restent toujours plus petites que ^,-h —■ Donc elles ont «110

limile. De même les réduites de ran^ pair vont en décroissant ^i restent toujours plus grandes que ti^, Donc elles ont auîisi une limite. D'ailleurs ces deux limites sont les mêmes* En eflei, U

DÊTELOPP. DES NOMBRES INCOMMENSURABLES EN FRACTIONS CONTINUES. l6l

différence entre une réduite de rang pair ^^ et la réduite sui-

P I vante *""*"' est égale à ^ — r:z Or 02» et 02/1+1 sont des entiers

qui croissent avec n. Donc cette différence tend vers zéro.

Ainsi les réduites de rang pair et celles de rang impair ont une limite commune.

2** Soit X cette limite. On a

«1 < ^ < «I -+- — • Donc, a fortiori,

Donc fli est le plus grand entier contenu dans x. Ensuite

ai H < 0? < 0| H •

1 aj

Donc

a, < < ojH •

Donc, a fortiori,

at< - — -- <a,-f- 1.

Donc «2 est le plus grand entier contenu dans — —

D'une façon générale,

< j? < - — (en supposant k pair pour fixer les idées),

VA^-t-J

'écrire, en i

Qa-»-i Qah-j

ce qui peut s'écrire, en introduisant le nombre Xk défini par la relation x =

Qa^a-^Qa-i'

g^t ( «ah-i h- - — ) H- k'A-l d^où l'on tire facilement

«A-t-l <OPk< «A-Kl H •

Donc, a fortiori,

«^^A-hl < -2^ A- < «Ar-hl -H I .

Donc ûA+i esl le plus grand entier contenu dans xa. 3*^ Enfin x est incommensurable, puisque si x était commensurable la suite d'opérations qu'on vient de dire serait limitée. C. II

Dé/ïnition. — Les uombies entiers '£ïi, «g, .--,«*, - . * s*&|>-

pellenl qiiolienls tncompiets; les qiiantilés x^ x, , J^a r*, , . ,

s'appelient quotietits complets.

226* Limife de rapptommadon obtenue en s'arrétant à une rédiiiieW^^ — Le nombres étant compris entre ^ el o~* ''^'*" leur commise en prenant ^ comme valeur approchëe est plus petite que la valeur absolue de ^ -- ^» c'est-à-dire que q;^^ et a fortiori q»^ g?-

227. Exemple de développe me ni dUtn nombre en fraction iontinue illimitée, — Développer en fracUon continue le logarithme vulgaire de i 7, c'est-à-dire calculer le nombre x satisfaisant y Téq nation

Ce nombre étant compiis entre i et *2, le premier quotient incomplet est I*

Posons donc «r :== 1 -h — '

L'équation devicnl

Ur on voit facilement que x, e$L compris entre 4 et 5 : le serotid quotient incomplet est donc 4^ Posons maintenant